Lineaarinen riippumattomuus

Wikipedia

Lineaarinen riippumattomuus on eräs matematiikan, ja erityisesti lineaarialgebran, keskeisimpiä teemoja. Tärkeytensä vuoksi se tulee käsitteenä vastaan myös puhtaan matemaatiikan ulkopuolella, esimerkiksi kvanttimekaniikassa, missä kantafunktioilla on keskeinen merkitys.

Sisällysluettelo

1 Vektoreiden lineaarinen riippumattomuus
2 Funktioiden lineaarinen riippumattomuus
3 Lineaarisen riippumattomuuden toteaminen
- 3.1 Wronskin ja Caseratin determinantit

[muokkaa] Vektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Olkoon $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n\}$ joukko vektoreita ja $\{a_1, a_2, ..., a_n\}\,$ joukko jonkin kerroinkunnan alkoita, tavallisesti reaalilukuja. Sanotaan, että vektorit $\mathbf{v}_i$ ovat lineaarisesti riippumattomia, jos lauseke

$a_1\mathbf{v}_1 + a_2\mathbf{v}_2 + ... + a_n\mathbf{v}_n = \mathbf{0}$

pätee jos ja vain jos kaikki kertoimet $a i$ ovat nollia. Jos jokin kertoimet eivät ole nollia, sanotaan vektorijoukon olevan lineaarisesti riippuvia. Käytännössä lineaarinen riippumattomuus tarkoittaa sitä, ettei yksikään vektoreista ole joukon muiden vektoreiden monikertojen summa eli lineaarikombinaatio. Esimerkiksi vektorit

$\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$ ja $\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$

ovat selvästi lineaarisesti riippumattomia, sillä

$a_1 \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} + a_2 \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}$

on mahdollista vain silloin, kun $a 1 = a 2 = 0$ . Jos kuitenkin otetaan mukaan kolmas vektori

$\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}$

saadaan lineaarikombinaatio

$b_1 \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} + b_2 \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix} + b_3 \begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}$ ,

joka toteutuu silloin kun $b 1 = - 2, b 2 = - 3$ ja $b 3 = 1$ , joten vektorit eivät ole lineaarisesti riippumattomia. Kaikkien annetussa vektoriavaruudessa lineaarisesti riippumattomien vektoreiden joukko määrittelee vektoriavaruuden kannan. Vaikka kanta ei olekaan yksikäsitteinen (sillä jos esimerkiksi $\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\}$ on kanta niin myös $\{2\mathbf{v}_1,3\mathbf{v}_2\}$ on kanta), niin kantavektoreiden lukumäärä avaruudessa on vakio ja se määrää tutkittavan vektoriavaruuden dimension. Edellisessä esimerkissä avaruuden dimensio on kaksi.

[muokkaa] Funktioiden lineaarinen riippumattomuus

Samaan tapaan kuin vektoreille, lineaarinen riippumattomuus voidaan määritellä yleisemminkin funktioille. Olkoon $\{f_1(x), f_2(x), ..., f_n(x)\}\,$ joukko funktioita ja $\{a_1, a_2, ..., a_n\}\,$ kerroinkunnan alkioita. Vektoreiden tapaan, funktiot ovat lineaarisesti riippumattomia, jos

$a_1 f_1(x) + a_2f_2(x) + ... + a_nf_n(x) = 0\,$

vain silloin kun kaikki kertoimet ovat nollia. Funktioiden lineaarinen riippumattomuus on olennaista, jos halutaan tietää muodostavatko ne funktioavaruuden kannan. Funktioavaruuden dimensio määräytyy niin ikään lineaarisesti riippumattomien funktioiden lukumäärästä. Erotuksena vektoriavaruuteen on kuitenkin se, että on helppoa määritellä ääretöndimensioisia funktioavaruuksia käyttämällä kantana esimerkiksi ortogonaalisia polynomeja.

[muokkaa] Lineaarisen riippumattomuuden toteaminen

Hyvin usein tulee vastaan tilanne, jossa annettujen olioiden, vektorien tai muiden, lineaarinen riippuvuus tai riippumattomuus on todettava. Tyypillisesti tämä palautuu kysymykseen yhtälöryhmän ratkaisemisesta. Esimerkiksi, jos halutaan tietää, ovatko vektorit

$\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}$ ja $\begin{bmatrix}-3\\2\end{bmatrix}$

lineaarisesti riippumattomia, on ratkaistava yhtälöpari

$\begin{cases} x - 3y = 0 \\ x + 2y = 0 \end{cases}$ .

Tämän tulokseksi saadaan $x = 0$ ja $y = 0$ , joten vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia. Mikä tahansa nollasta eroava arvo x:lle tai y:lle olisi puolestaan merkinnyt riippuvuutta. Matriisilaskennasta on tunnettua, että yhtälöparin ratkaisun olemassaolon kertoo myös yhtälöryhmästä kirjoitettu determinantti. Niinpä voidaan kirjoittaa determinantti sellaiselle matriisille, jonka pystyriveinä ovat tutkittavat vektorit

$\det\begin{bmatrix}1 & -3 \\ 1 & 2\end{bmatrix} = 2 + 3 = 5$ .

Koska determinantti ei ole nolla, vektorit eivät ole toistensa lineaarikombinaatioita ja ne ovat siis riippumattomia.

[muokkaa] Wronskin ja Caseratin determinantit

Jatkuvien funktioiden lineaarisen riippumattomuuden toteamiseen voidaan käyttää Wronskin determinanttia. Joukolle funktioita $\{f_1(x), f_2(x), ..., f_N(x)\}\,$ se määritellään funktioista ja niiden derivaatoista muodostuvaksi determinantiksi

$W = \det\begin{bmatrix} f_1(x)& f_2(x)& ...& f_N(x)\\ f'_1(x)& f'_2(x)& ...& f'_N(x)\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ f^{(n)}_1(x)& f^{(n)}_2(x)& ...& f^{(n)}_N(x) \end{bmatrix}$ .

Funktiot ovat lineaarisesti riippumattomia kaikilla niillä x:n arvoilla, joilla determinantti ei ole nolla. Wronskin determinantti näyttelee tärkeää osaa differentiaaliyhtälöiden teoriassa. Jos $\{f_n^{[1]}, f_n^{[2]}, ..., f_n^{[N]}\}\,$ on N funktiota sisältävä joukko diskreettejä funktioita, niiden lineaarista riippuvuutta testaa Casoratin determinantti

$C = \det\begin{bmatrix} f_n^{[1]}& f_n^{[2]}& ...& f_n^{[N]}\\ f_{n+1}^{[1]}& f_{n+1}^{[2]}& ...& f_{n+1}^{[N]}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ f_{n+N-1}^{[1]}& f_{n+N-1}^{[2]}& ...& f_{n+N-1}^{[N]} \end{bmatrix}$

Koska Casoratin determinantin kahden vaakarivin erotus on derivaatan diskreetti analogia, kyseessä on Wronskin determinantin suora yleistys. Myös tässä tapauksessa funktiot $f_n^{[i]}$ ovat riippumattomia, jos determinantti eroaa nollasta.