Ortogonaaliset polynomit

Wikipedia

Ortogonaaliset polynomit ovat ääretön joukko polynomeja $P_0(x), P_1(x), P_2(x) \ldots, P_n(x), \ldots\,$ , joista $n$ :s polynomi on aina $n$ :ttä astetta. Ortogonaalipolynomit ovat nimensä mukaisesti ortogonaalisia, eli kahden polynomin sisätulo

$\langle P_n,P_m \rangle = \int_{a}^{b} P_n(x) P_m(x) W(x) dx$

on nolla, aina kun $n \neq m$ . Tässä esiintyvä funktio $W (x)$ on sisätulon painofunktio, joka voi olla myös ykkönen. Tämän ominaisuuden vuoksi tietty ortogonaalipolynomien joukko muodostaa polynomiavaruuden kannan samaan tapaan kuin vaikkapa koordinaatiston kantavektorit muodostavat vektoriavaruuden kannan. Integrointirajojen $a$ ja $b$ väliin jäävää aluetta kutsutaan polynomiperheen ortogonaalisuusväliksi. Rajoista jompikumpi tai molemmat voivat olla äärettömiä. Kanta-ominaisuutensa vuoksi ortogonaalipolynomeilla on runsaasti käytännön sovelluksia. Niiden avulla voidaan esimerkiksi kirjoittaa sarjakehitelmiä muille funktioille.

[muokkaa] Ominaisuuksia

[muokkaa] Generoiva funktio

Ortogonaalisia polynomeja esiintyy sellaisen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälön ratkaisuna, joka on muotoa

$Q(x)y'' + L(x)y' + \lambda y = 0\,$ ,

kunhan polynomi $Q (x)$ on korkeintaan toista astetta ja polynomi $L (x)$ lineaarinen. Jokaiselle ortogonaalisten polynomien joukolle voidaan löytää funktio, joka tunnetaan Rodriguesin kaavana. Rodriguesin kaavan yleinen muoto on

$P_n = \frac{1}{W(x)e_n}\frac{d^n}{dx^n}(W(x)[Q(x)]^n)$ ,

missä painofunktio

$W(x) = \frac{e^{\int (L(x) / Q(x))dx}}{Q(x)}$

ja $e n$ polynomijoukosta riippuva kerroin. Monissa todistuksissa on kätevää käyttää varsinaista generoivaa funktiota. Funktio $G (x, t)$ on generoiva funktio, jos polynomijoukolle on voimassa

$G(x,t) = \sum_n P_n(x)t^n\,$

Tällä voidaan todistaa esimerkiksi rekursiokaavoja.

[muokkaa] Rekursiokaava

Jokaiselle ortogonaalisten polynomien joukolle voidaan myös löytää rekursiivinen kaava, jolla pystytään laskemaan joukon seuraava polynomi, kun kaksi edellistä polynomia tunnetaan. Yleinen rekursiokaava on muotoa

$P_{n+1} = (a_nx + b_n)P_n - c_nP_{n-1}\,$

[muokkaa] Juurten reaalisuus ja erisuuruus

Voidaan osoittaa, että jokaisen ortogonaalipolynomin kaikki juuret ovat erisuuria, reaalisia ja että ne kaikki sijaistevat kyseisen polynomijoukon ortogonaalisuusvälillä. Voidaan myös osoittaa, että jonon $n$ :nnen polynomin kaikki juuret sijaitsevat $(n + 1)$ :nnen polynomin juurten välissä.

[muokkaa] Tunnettuja ortogonaalisia polynomeja

Ortogonaalisia polynomeja syntyy mm. eräiden differentiaaliyhtälöiden ratkaisuna yhtälön sarjaratkaisun katketessa polynomiksi. Tunnettuja ortogonaalipolynomiparvia ovat