Elipsa (matematyka)

Z Wikipedii

Elipsa

Elipsa to krzywa stożkowa opisana równaniem

$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

gdzie a i b to długości półosi elipsy.

Można to również zapisać w postaci parametrycznej:

$x = a\,\cos t$

$y = b\,\sin t$

$0 \leq t < 2\pi$

albo biegunowej:

$r^2 = {b^2 \over {1 - e^2 \cos^2 \theta}}$

gdzie e to mimośród elipsy:

$e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$

natomiast $θ$ jest kątem.

Można też ją zdefiniować jako zbiór punktów X, których suma odległości od dwóch punktów zwanych ogniskami elipsy (na rysunku F1 i F2) jest równa pewnej liczbie 2a (długość jej wielkiej osi). W tym ujęciu można elipsę zdefiniować dla każdej przestrzeni metrycznej.

Szczególnym przypadkiem elipsy jest okrąg. Elipsa jest szczególnym przypadkiem superelipsy.

Pole powierzchni ograniczonej przez elipsę:

$S=\pi \cdot a\cdot b$

Obwód elipsy jest dany tzw. całką eliptyczną i nie daje się w ogólnym przypadku zapisać w postaci algebraicznej.

Przybliżony wzór:

$O\approx\pi \left({3{{a+b} \over 2}-\sqrt{ab}}\right)$

Odpowiednikiem elipsy w przestrzeni trójwymiarowej jest elipsoida.

[edytuj] Właściwości

rys. 1 - własność stycznej

[edytuj] Styczna

Styczna w punkcie $P$ do elipsy o ogniskach $F_1,\ F_2$ jest dwusieczną kąta zewnętrznego trójkąta $Δ F 1 P F 2$ . Jest to równoznaczne z tym, że promień świetlny wychodzący z jednego ogniska elipsy po odbiciu (zgodnie z zasadą, że kąt padania jest równy kątowi odbicia) od krawędzi elipsy przejdzie przez drugie ognisko (kolorowe kąty na rys 1 mają równe miary).

Dowód własnosci stycznej

[edytuj] Dowód

Załóżmy, że dwusieczna tego kąta nie jest styczną, czyli przecina elipsę w pewnym punkcie $Q$ różnym od $P .$

Niech $F 1'$ będzie odbiciem $F 1$ w dwusiecznej. Z symetrii wynika, że

F 1 P = F 1' P,

więc

F 2 P + P F 1' = 2 a,

gdzie a oznacza długość dużej półosi elipsy. Podobnie pokazujemy, że

F 2 Q + Q F 1' = 2 a .

Z rachunku kątów otrzymujemy, że $F_1',\ P,\ F_2$ są współliniowe, zaś $F_1',\ Q,\ F_2$ są niewspółliniowe.

Stąd $F 2 P + P F 1' < F 2 Q + Q F 1'.$ Jest to sprzeczne z $F 2 P + P F 1' = 2 a = F 2 Q + Q F 1'.$

Zakładając nieprawdziwość tezy, doszliśmy do sprzeczności, zatem teza została udowodniona.

rys. 2 - własność dwóch stycznych

[edytuj] Dwie styczne

Gdy z punktu $S$ leżącego na zewnątrz elipsy poprowadzimy dwie proste, styczne do elipsy w punktach $K$ i $L,$ to

$\angle KSF_1 = \angle LSF_2$

$\angle KF_1S=\angle LF_1S$

(kąty o tych samych kolorach na rys 2 mają równe miary).

[edytuj] Dowód

dowód własności dwóch stycznych

Odbijamy elipsę w obu stycznych. Ogniska obrazów oznaczamy odpowiednio przez $F_1',\ F_1'',\ F_2',\ F_2''.$

Wtedy $F 2 F 1' = f 2 F 1'' = 2 a$ (a - duża półoś; wynika to z własności stycznej) oraz $S F 1' = S F 1'',$ bo są obrazami tego samego odcinka.

Zatem $Δ S F 2 F 1' = Δ S F 2 F 1'',$

więc $\angle SF_2F_1'=\angle SF_2F_1'',$ (dowiedliśmy równości kątów przy ogniskach)

oraz $\angle F_2SF_1'=\angle F_2SF_1''.$

$\angle F_2SF_1''=\angle KSL+\angle F_1''SL-\angle KSF_2$

$\angle F_2SF_1'=\angle KSL'+\angle F_2''SK-\angle L'SF_1',$ gdzie $L'$ - odbicie $L$ w $S K .$

Stąd $\angle F_2SK-\angle L'SF_1'=\angle F_1''SL-\angle KSF_2,$

czyli $2\angle KSF_2=\angle F_1''SL+\angle L'SF_1'$

Ponieważ $\angle L'SF_1'=\angle F_1''SL,$

to $\angle KSF_2=\angle F_1''SL=\angle L'SF_1'=\angle LSF_1.$

Udowodnilismy równość kątów przy $S .$

rys. 3 - trójkąt opisany

[edytuj] Trójkąt opisany

Gdy punkty $F_1,\ F_2$ leżące wewnątrz trójkąta $Δ A B C$ spełniają

$\angle CBF_1 = \angle ABF_2$

$\angle BAF_1 = \angle CAF_2$

to istnieje elipsa o ogniskach $F_1,\ F_2$ wpisana w trójkąt, czyli styczna do jego trzech boków. Wtedy zachodzi również $\angle BCF_1 = \angle ACF_2.$ Szczególnym przypadkiem takiej elipsy jest elipsa o ogniskach w ortocentrum i środku okręgu opisanego na trójkącie (rys 3).

[edytuj] Dowód

Możemy tak dobrać dużą półoś elipsy, żeby była styczna do $A B .$ Z własności o dwóch stycznych mamy, że jest ona styczna do pozostałych boków trójkąta, bo zachodzą równości odpowiednich kątów. Korzystając ponownie z własności stycznych otrzymujemy równość $\angle BCF_1 = \angle ACF_2.$

Dokonując rachunku na kątach otrzymujemy powyższe równości dla ortocentrum i środka okręgu opisanego, z czego wynika, że istnieje elipsa wpisana w trójkąt o takich ogniskach.

rys. 4 - okrąg opisany

[edytuj] Okrąg opisany

Niech $X$ będzie rzutem prostokątnym ogniska elipsy na styczną do niej. Miejscem geometrycznym wszystkich punktów $X$ jest okrąg o środku w środku odcinka łączącego ogniska i o promieniu równym dużej półosi elipsy (czerwony okrąg na rys. 4).

[edytuj] Dowód

dowód okręgu opisanego

Poprowadźmy dwie równoległe styczne do elipsy w punktach $X,\ Y.$ Są one symetryczne względem środka $S$ elipsy, więc $F 1 X F 2 Y$ jest równoległobokiem.

Niech $A,\ D$ będą rzutami prostokątnymi ognisk $F_1,\ F_2$ na styczną w $Y,$ zaś $B,\ C$ na styczną w $X .$ Odbijamy $X$ w prostej $A B$ otrzymując punkt $X'.$