Ellipse

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Dieser Artikel befasst sich mit der Ellipse in der Mathematik, andere Bedeutungen unter Ellipse (Begriffsklärung).

In der ebenen Geometrie versteht man unter einer Ellipse eine spezielle geschlossene, glatte Kurve, die eine Verallgemeinerung des Kreises ist. Die Ellipse gehört ebenso wie der Kreis, die Parabel und die Hyperbel zu den Kegelschnitten. Sie ist ein Spezialfall des anders definierten Ovals, und hat mehr interessante Eigenschaften.

Der Umfang einer Ellipse kann im allgemeinen Fall nicht durch eine geschlossene Formel angegeben werden. Die sogenannten elliptischen Integrale gehören zu den klassischen Beispielen, für die keine algebraisch formulierbare Stammfunktion existiert.

Erweitert man die Ellipsengleichung für den dreidimensionalen Raum, so entsteht ein Ellipsoid. Hat dieses zwei gleiche Halbachsen, so heißt es Rotationsellipsoid, da es in diesem Fall auch durch Rotation einer Ellipse um eine ihrer Achsen beschrieben werden kann. Hierbei sind alle Schnittflächen senkrecht zu dieser Rotationsachse Kreise.

[Bearbeiten] Definitionen und Begriffe

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Ellipsen zu definieren. Neben der Definition über gewisse Abstände von Punkten ist es auch möglich eine Ellipse als Bild eines Kreises unter Parallelprojektion oder als ebenen Schnitt eines Kreiszylinders zu definieren. Ein beschränkter ebener Schnitt eines Kreiskegels stellt sich ebenfalls als Ellipse heraus.

Parameter einer Ellipse

[Bearbeiten] Ellipse als Punktmenge

Eine Ellipse kann definiert werden als die Menge aller Punkte $P$ der Zeichenebene, für die die Summe der Abstände zu zwei gegebenen Punkten $F 1$ und $F 2$ gleich $2 a$ ist (in nebenstehender Abbildung blau eingezeichnet). Die Punkte $F 1$ und $F 2$ heißen Brennpunkte.

$E = \{P \mid \left|\overline{F_1 P}\right| + \left|\overline{F_2 P}\right| = 2a\}.$

[Bearbeiten] Ellipse als Kegelschnitt

Ellipse als Kegelschnitt

Die Ellipse kann auch als ein Kegelschnitt angesehen werden, der entsteht, wenn der Schnittwinkel zwischen Ebene und Kegelachse größer als der halbe Öffnungswinkel des Doppelkegels ist. Der Kreis ist ein Sonderfall der Ellipse.

[Bearbeiten] Scheitel und Achsen

Die Punkte $S 1$ und $S 2$ mit größtem Abstand zum Mittelpunkt $M$ heißen Hauptscheitel, ihre Verbindungslinie $\overline{S_1 S_2}$ heißt Hauptachse bestehend aus den zwei großen Halbachsen $\overline{MS_1}$ und $\overline{MS_2}$ .

Analog dazu spricht man von den Nebenscheiteln $S 3$ und $S 4$ , welche die Nebenachse bestehend aus den kleinen Halbachsen $\overline{M S_3}$ und $\overline{M S_4}$ definieren. Die Länge der kleinen Halbachsen wird mit $b$ bezeichnet:

$b=\left|\overline{M S_3}\right| = \left|\overline{M S_4}\right|.$

Haupt- und Nebenachse sind rechtwinklig zueinander.

[Bearbeiten] Exzentrizität

Hauptartikel: Exzentrizität (Mathematik)

Der Abstand der Brennpunkte vom Mittelpunkt heißt lineare Exzentrizität und wird mit $e$ bezeichnet. Die lineare Exzentrizität berechnet sich über das rechtwinklige Dreieck $Δ M F 1 S 3$ mit dem Satz des Pythagoras

$e = \sqrt{a^2-b^2}.$

Neben der linearen Exzentrizität $e$ wird oft auch die dimensionslose numerische Exzentrizität

$\varepsilon = \frac ea = \frac{\sqrt{a^2-b^2}}a \in[0,1)$

verwendet. Ist $\varepsilon=0$ , so ist die Ellipse ein Kreis. Liegt sie nahe bei 1, so handelt es sich um eine langgestreckte, schmale Ellipse.

[Bearbeiten] Spezielle Abstände

Die Definitionsgleichung zusammen mit Symmetrieüberlegungen ergeben, dass der Abstand der Nebenscheitel $S 3$ und $S 4$ von den Brennpunkten $F 1$ und $F 2$ gerade gleich der Größe $a$ aus der Definition ist (in nebenstehender Abbildung grün eingezeichnet):

Die großen Halbachsen $\overline{M S_1}$ und $\overline{M S_2}$ haben ebenfalls gerade die Länge $a$ . Diese Beziehung ergibt sich aus der Anwendung der Definitionsgleichung auf einen Hauptscheitel:

$\begin{align} \left|F_1 S_1\right| + \left|F_2 S_1\right| &= 2a\\ \left|M S_1\right| - e + \left|F_2 S_1\right| &= 2a\\ \left|M S_1\right| - e + e + \left|M S_1\right| &= 2a\\ \left|M S_1\right| &= a. \end{align}$

[Bearbeiten] Halbparameter

Die halbe Länge einer Ellipsensehne, die durch einen Brennpunkt geht und zur Hauptachse senkrecht verläuft, nennt man den Halbparameter (manchmal auch nur Parameter) $p$ der Ellipse:

$p = \frac{b^2}a.$

Eine andere Definition der Ellipse benutzt eine spezielle geometrische Abbildung, nämlich die perspektive Affinität. Hier ist die Ellipse als perspektiv affines Bild eines Kreises definiert. Dabei wird jeder Kreisdurchmesser auf einen Ellipsendurchmesser abgebildet.

[Bearbeiten] Hauptlage und analytische Definition

Eine Ellipse, deren Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems liegt und deren Hauptachse mit der x-Achse zusammenfällt, nennt man Ellipse in der 1. Hauptlage. Es gilt die Gleichung

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

für die Koordinaten der Ellipsenpunkte einer solchen Ellipse.

[Bearbeiten] Eigenschaften

[Bearbeiten] Brennpunkteigenschaft

Hauptartikel: Brennpunkt (Ellipse)

Brennpunktseigenschaft

Die Verbindungslinie zwischen einem Brennpunkt und einem Punkt der Ellipse heißt Brennlinie, Leitstrahl, oder Brennstrahl. Ihren Namen erhielten Brennpunkte und Brennstrahlen aufgrund der Eigenschaft, dass der Winkel zwischen den beiden Brennstrahlen in einem Punkt der Ellipse durch die Normale in diesem Punkt halbiert wird. Damit ist der Einfallswinkel, den der eine Brennstrahl mit der Tangente bildet, gleich dem Ausfallswinkel, den die Tangente mit dem anderen Brennstrahl bildet. Ein Lichtstrahl, der von einem Brennpunkt ausgeht, würde demnach an der Ellipsentangente so reflektiert, dass er den anderen Brennpunkt trifft. Bei einem ellipsenförmigen Spiegel treffen sich demnach alle von einem Brennpunkt ausgehenden Lichtstrahlen in dem anderen Brennpunkt.

Da der Weg von einem zum anderen Brennpunkt (entlang zweier zusammengehöriger Brennstrahlen) immer gleich lang ist, wird z. B. Schall nicht nur „verstärkt“ (siehe unten) von einem zum anderen Brennpunkt übertragen, sondern kommt sogar zeit- und phasengleich (also verständlich und nicht interferierend) dort an.

Zwei Ellipsen mit übereinstimmenden Brennpunkten nennt man konfokal.

[Bearbeiten] Natürliches Vorkommen und Anwendung in der Technik

Die Decken mancher Höhlen ähneln einer Ellipsenhälfte. Befindet man sich in einem Brennpunkt dieser Ellipse, hört man jedes Geräusch, dessen Ursprung im zweiten Brennpunkt liegt, verstärkt („Flüstergewölbe“). Das gleiche Prinzip wird heute zur Zertrümmerung von Nierensteinen mit Stoßwellen verwendet.

[Bearbeiten] Direktrix

Ellipse mit Leitlinien

Eine Parallele zur Nebenachse im Abstand $\frac{a^2}{e}$ bezeichnet man als Direktrix oder Leitlinie. Für einen beliebigen Punkt $P$ der Ellipse ist das Verhältnis seines Abstands von einem Brennpunkt zu dem Abstand von der Direktrix $d$ auf der entsprechenden Seite der Nebenachse gleich der numerischen Exzentrität:

$\mathrm{\left|P F_1\right| : \left|P d_1\right| = \left|P F_2\right| : \left|P d_2\right| = \varepsilon}.$

Ein gegebener Brennpunkt $F$ , eine Gerade $d$ (die Direktrix) und eine Zahl $0 \leq \varepsilon < 1$ definieren umgekehrt eine Ellipse $E$ als Menge aller Punkte $P$ für die das Verhältnis ihres Abstandes $\left| FP \right|$ vom Brennpunkt zu ihrem Abstand $\left| Fd \right|$ von der Geraden $d$ gleich $\varepsilon$ ist.

[Bearbeiten] Konjugierte Durchmesser

Ellipse mit zwei konjugierten Durchmessern

Betrachtet man zu einem beliebigen Ellipsendurchmesser (einer Ellipsensehne durch den Ellipsenmittelpunkt) $\overline{PP^'}$ alle parallelen Sehnen, so liegen deren Mittelpunkte ebenfalls auf einem Ellipsendurchmesser $\overline{QQ^'}$ . Man nennt $\overline{QQ^'}$ den zu $\overline{PP^'}$ konjugierten Durchmesser. Bildet man zum konjugierten Durchmesser erneut den konjugierten Durchmesser, so erhält man wieder den ursprünglichen Ellipsendurchmesser. In der Zeichnung stimmt also der zu $\overline{QQ^'}$ konjugierte Durchmesser mit dem ursprünglichen Durchmesser $\overline{PP^'}$ überein.

[Bearbeiten] Konstruktion

[Bearbeiten] Näherung über Krümmungskreise

Ellipsen lassen sich (mit Zirkel und Lineal) nur punktweise konstruieren, d. h. eine genaue Konstruktion wie zum Beispiel beim Kreis ist unmöglich. Mit Hilfe der Krümmungskreise an den Scheitelpunkten und eines Kurvenlineals lässt sich aber auch zeichnerisch ein relativ genaues Bild der Ellipse erstellen. Um aber zum Beispiel eine Gerade exakt mit einer Ellipse zu schneiden, braucht man besondere Konstruktionstechniken, welche die Eigenschaften der Ellipse ausnutzen.

[Bearbeiten] Gärtnerkonstruktion

Eine einfache Möglichkeit, die Ellipse genau zu zeichnen, ist die sogenannte Gärtnerkonstruktion. Sie benutzt direkt die Ellipsendefinition: Um ein ellipsenförmiges Blumenbeet zu erstellen, schlägt man zwei Pflöcke in die Brennpunkte und befestigt daran die Enden einer Schnur mit der Länge $2 a$ . Nun spannt man die Schnur und fährt mit einem Markierungsgerät an ihr entlang. Da diese Methode neben Zirkel und Lineal zusätzliche Hilfsmittel benötigt, handelt es sich nicht um eine Konstruktion der klassischen Geometrie.

[Bearbeiten] Ellipsenzirkel

Ellipsenzirkel

Ellipsenzirkel nach Frans van Schooten aus dem 17. Jahrhundert

Ebenfalls können Ellipsen mit Frans van Schootens Ellipsenzirkel oder darauf beruhenden Nachbauten konstruiert werden. Der Gelenkmechanismus wurde von dem holländischen Mathematiker im 17. Jahrhundert erfunden. Wenn man am Stift in Punkt $E$ zieht, zeichnet dieser eine Ellipse. Der Mechanismus ist an den Brennpunkten $H$ und $I$ auf der Zeichenunterlage befestigt.

[Bearbeiten] Konstruktion nach de la Hire

Mittels der Ellipsenkonstruktion nach de la Hire (auch Konstruktion nach Proklus) können Ellipsenpunkte konstruiert werden, ohne dass die Brennpunkte bekannt sein müssen.

[Bearbeiten] Rytzsche Achsenkonstruktion

Sind zwei konjugierte Durchmesser gegeben, können mit Hilfe der Rytzschen Achsenkonstruktion die Haupt- und Nebenscheitel (und die Achsen) bestimmt werden.

[Bearbeiten] Auf Basis eines Kreises

Besonders in der Computergrafik lohnt sich die Ableitung einer Ellipse aus einer Kreisform. Eine achsenparallele Ellipse ist dabei einfach ein Kreis, der in einer der Koordinatenrichtungen gestaucht bzw. gedehnt, in anderen Worten anders skaliert wurde. Eine allgemeine, in beliebigem Winkel gedrehte Ellipse kann man aus so einer achsenparallelen Ellipse durch Scherung erhalten, s. a. Bresenham-Algorithmus.

[Bearbeiten] Radlinien

Ein rollender Kreis auf einer Ebene lässt sich als Ellipsenzirkel verwenden. Die elliptische Kurve entsteht wenn man dabei den Weg eines Randpunktes des rollenden Kreises verfolgt.
Ein Kreis wird innerhalb eines doppelt so großen Kreises abgerollt. Animation

[Bearbeiten] Beispiele

Schaut man schräg auf einen Kreis (beispielsweise auf die Deckfläche eines Kreiszylinders), so erscheint dieser Kreis als Ellipse. Präziser: Eine Parallelprojektion bildet Kreise im Allgemeinen auf Ellipsen ab.

In der Astronomie kommen Ellipsen häufig als Bahnen von Himmelskörpern vor. Nach dem ersten keplerschen Gesetz bewegt sich jeder Planet auf einer Ellipse um die Sonne, wobei diese in einem der beiden Brennpunkte steht. Entsprechendes gilt für die Bahnen von wiederkehrenden (periodischen) Kometen, Planetenmonden oder Doppelsternen. Allgemein ergeben sich bei jedem Zweikörperproblem der Gravitationskraft zueinander ähnliche Ellipsenbahnen, wenn die Energie nicht ausreicht, die Entfernung der beteiligten Himmelskörper unendlich groß werden zu lassen.

Für jeden zwei- oder dreidimensionalen harmonischen Oszillator erfolgt die Bewegung auf einer Ellipsenbahn. So schwingt etwa der Pendelkörper eines Fadenpendels näherungsweise auf einer elliptischen Bahn, falls die Bewegung nicht auf eine Ebene beschränkt ist.

[Bearbeiten] Formelsammlung

[Bearbeiten] Ellipsengleichung (kartesische Koordinaten)

Mittelpunkt $(0 | 0)$ , Hauptachse als $x$ -Achse:

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

Mittelpunkt $(x 0 | y 0)$ , Hauptachse parallel zur $x$ -Achse:

$\frac{(x-x_0)^2}{a^2} + \frac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1$

Herleitung der Ellipsengleichung:

Es gelten die Beziehungen

r 1 + r 2 = 2 a

(1)

und

e 2 = a 2 - b 2,

(2)

wobei $r 1$ und $r 2$ jeweils die Strecken $r_1 = \overline{F_1 P}$ bzw. $r_2 = \overline{F_2 P}$ seien.

(Wenn $x = 0$ , entsteht ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Seiten $r 1$ und $r 2$ gleich lang sind.)

Geht man vom Mittelpunkt aus, so erhält man für $y$ die zwei Darstellungen

$y^2 = r_1^2 - (e + x)^2,$

(3)

$y^2 = r_2^2 - (e - x)^2.$

(4)

Um zur gewünschten Darstellung zu kommen, müssen die Variablen $r 1$ , $r 2$ und $e$ eliminiert werden. Zunächst werden die beiden rechten Seiten der Gleichungen (3) und (4) gleichgesetzt und (1) als Formel für $r 2$ verwendet. Somit ergibt sich

$r_1^2 - (e + x)^2 = 4a^2 - 4ar_1 + r_1^2 - (e - x)^2.$

Wird diese Gleichung bereinigt und nach $r 1$ umgestellt, erhält man

$\frac{a^2 + ex}{a} = r_1.$

Setzt man diese Darstellung von $r 1$ ein in (3), so ergibt sich

$y^2 = \left(\frac{a^2 + ex}a \right)^2 - (e + x)^2$

und ausmultipliziert damit

$y^2 = a^2 + \frac{e^2x^2}{a^2} - e^2 - x^2.$

Setzt man nun (2), also die Formel für $e 2$ , ein, so führt das zu

$y^2 = a^2 + \frac{(a^2 - b^2)x^2}{a^2} - a^2 + b^2 - x^2\qquad \mid a^2 - a^2 = 0$

und nach Bereinigen, sowie beidseitigem Multiplizieren mit $a 2$ zu

$a^2y^2 = a^2b^2 - x^2b^2 \quad\qquad \mid / (a^2 b^2),$

was sich unmittelbar in die gewünschten Darstellung

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

überführen lässt.

[Bearbeiten] Ellipsengleichung (Parameterform)

Mittelpunkt $(0 | 0)$ , Hauptachse als $x$ -Achse:

$\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a\cos t\\ b\sin t \end{pmatrix}, 0\le t\le 2\pi.$

Mittelpunkt $(x 0 | y 0)$ , Hauptachse parallel zur $x$ -Achse:

$\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_0+a\cos t\\ y_0+b\sin t \end{pmatrix} , 0\le t\le 2\pi.$

[Bearbeiten] Ellipsengleichung (Polarkoordinaten)

Hauptachse waagrecht, Mittelpunkt als Pol, Polarachse längs Hauptachse nach rechts:

$r = \frac b{\sqrt{1 - \varepsilon^2 \cos^2 \varphi}}$

Hauptachse waagrecht, rechter Brennpunkt als Pol, Polarachse längs Hauptachse nach rechts:

$r = \frac p{1 + \varepsilon \cos \varphi}$

Hauptachse waagrecht, linker Brennpunkt als Pol, Polarachse längs Hauptachse nach rechts:

$r = \frac p{1 - \varepsilon \cos \varphi}$

[Bearbeiten] Tangentengleichung (kartesische Koordinaten)

Mittelpunkt $(0 | 0)$ , Hauptachse als $x$ -Achse, Berührpunkt $(x B | y B)$ :

$\frac{x_B x}{a^2} + \frac{y_B y}{b^2} = 1$

Mittelpunkt $(x 0 | y 0)$ , Hauptachse parallel zur $x$ -Achse, Berührpunkt $(x B | y B)$ :

$\frac{(x_B - x_0) (x - x_0)}{a^2} + \frac{(y_B - y_0) (y - y_0)}{b^2} = 1$

[Bearbeiten] Winkel der Ellipsentangente

Die Winkel der Ellipsentangente

In der nebenstehenden Grafik gilt das Winkelverhältnis

$\varphi = \arctan \left( (1 - \varepsilon^2 ) \tan(\beta)\right)$

und nachdem man die Formel für $\varepsilon$ eingesetzt hat:

$\varphi = \arctan \left(\frac {b^2}{a^2} \tan(\beta)\right)$

[Bearbeiten] Herleitung

Die Herleitung des Winkelverhältnisses

Das Argument läuft über eine affine Transformation in einen Kreis und wieder zurück.

Der Punkt $P e$ der Ellipse ist das affine Bild des entsprechenden Punktes $P k$ auf dem Hauptkreis, der das Urbild der Ellipse unter einer affinen Transformation ist. Die Koordinaten von $P k$ sind

(a cos(t), a sin(t))

für einen noch zu bestimmenden Winkel $t$ , wobei $a$ der Kreisradius ist. Die Koordinaten der Ellipsenpunkte gehen durch eine Stauchung ihrer $y$ -Koordinaten mit dem Faktor $\tfrac ba$ aus den korrespondierenden Kreis-Punkten hervor. Daher hat $P e$ die Koordinaten

$\left(a\cos(t), a\frac ba\sin(t) \right) = \Big(a\cos(t), b\sin(t) \Big).$

was die Koordinatenform der Ellipse ist.

Durch Ableitung erhält man den Richtungsvektor ihrer Tangente $t e$ im Punkt $P e$ :

$\Big(-a\sin(t), b\cos(t)\Big).$

Der Richtungsvektor der Normalen $n e$ ergibt sich durch Vertauschen der Koordinaten und Invertieren einer Koordinate zu:

$\Big(b\cos(t), a\sin(t)\Big).$

Daraus ergibt sich die Steigung der Normalen zu

$\frac{a\sin(t)}{b\cos(t)}$

und damit ihr gesuchter Steigungswinkel $β$ zu

$\beta = \arctan\left(\frac{a\sin(t)}{b\cos(t)}\right).$

Dieser Winkel ist bisher ausgedrückt in Abhängigkeit vom Winkel $t$ und muss noch in Abhängigkeit von $\varphi$ umgeschrieben werden.

In obiger Abbildung sieht man, dass

$a\cos(t) = x = r' \cos(\varphi)$

und

$a\sin(t) = y_k = \frac ab y_e = \frac ab r' \sin(\varphi).$

Dies eingesetzt in die Gleichung für $β$ ergibt

$\beta = \arctan\left(\frac{a\sin(t)}{b\cos(t)}\right) = \arctan\left(\frac{\frac ab r'\sin(\varphi)}{b\frac{r'}a \cos(\varphi)}\right).$

Durch Zusammenfassen der Brüche, das Wegfallen von $r'$ und das Ersetzen der $\tfrac{\sin}{\cos}$ -Funktion durch $tan$ erhält man schlussendlich die gewünschte Gleichung zum Winkelverhältnis

$\beta = \arctan\left(\frac{a^2}{b^2} \tan(\varphi)\right).$

Durch Auflösen nach $\varphi$ ergibt sich das oben angeführte Winkelverhältnis

$\underline{\underline {\varphi = \arctan \left(\frac{b^2}{a^2} \tan(\beta)\right)}}.$

Weiters kann man auch das Winkelverhältnis der Ellipsentangente zur Tangente des Hauptachsenkreises ableiten. Indem die Formeln

$\tan(\varphi)=\frac{y_e}x;\ \tan(t)=\frac{y_k}x$

nach $x$ auflöst und gleichsetzt und

$y_k=\frac ab y_e$

einsetzt, erhält man das Winkelverhältnis

$\underline{\underline {\varphi = \arctan\left( \frac{b}{a} \tan(t) \right)}}.$

[Bearbeiten] Normalengleichung (kartesische Koordinaten)

Mittelpunkt $(0 | 0)$ , Hauptachse als $x$ -Achse, Berührpunkt $(x B | y B)$ :

$\left( 1-{\frac {y}{y_B}} \right) \frac {b^2}{a^2}+{\frac {x}{x_B}}=1$

[Bearbeiten] Krümmungsradien

Krümmungsradius in einem der beiden Hauptscheitel:

$r_H = \frac{b^2}{a}$

Krümmungsradius in einem der beiden Nebenscheitel:

$r_N = \frac{a^2}{b}$

[Bearbeiten] Weitere Formeln

[Bearbeiten] Flächeninhalt

Mit den Halbachsen $a$ und $b$ :

$A=\pi a b = \pi a^2 \sqrt{1-\varepsilon^2}$

In Polarkoordinaten lässt sich auch der Flächeninhalt als Funktion des (Polar)Winkels darstellen: (Polarkoordinaten: Hauptachse waagrecht, Mittelpunkt als Pol, Polarachse längs Hauptachse nach rechts; das heißt erste Formel in Abschnitt 6):

$dA=\frac{\sqrt{1-\kappa^2}}{2}dt$

[Bearbeiten] Umfang

Diagramm zur Berechnung des Ellipsenumfangs

Der Umfang kann nicht analytisch berechnet werden. Er ist nur als Integral darstellbar:

$U = 4a\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} {\sqrt {1 - \varepsilon^2 (\sin t)^2}} \ \mathrm dt=4a \; E(\varepsilon)$

mit der numerischen Exzentrizität

$\varepsilon= \frac{\sqrt{a^2-b^2}}a$

d. h. approximativ

$U = 2 \pi {\sqrt {\frac{1}2 (a^2+b^2)}}.$

$E(\varepsilon)$ heißt elliptisches Integral. Dieses Integral lässt sich nicht in einer geschlossenen integralfreien Form schreiben. Es gibt aber die Reihenentwicklung:

$U = 2 a \pi \left( 1 - \sum_{i=1}^\infty \frac{(2i)!^2}{(2^i \cdot i!)^4 } \cdot \frac{\epsilon^{2i}}{2i-1} \right)$

$U = 2 a \pi \left( 1 - \sum_{i=1}^\infty \left( \prod_{k=1}^i \frac{2k-1}{2k} \right)^2 \frac{\epsilon^{2i}}{2i-1} \right)$

$U=2a \pi \left[1 - \left(\frac 12\right)^2 \varepsilon^2 - \left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\right)^2 \frac{\varepsilon^4}3 - \dotsb - \left(\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots 2n}\right)^2 \frac{\varepsilon^{2n}}{2n-1} - \dotsb \right]$

und die Näherung

$U \approx \pi (a+b) \left(1+ \frac{3\lambda^2}{10+\sqrt{4-3\lambda^2}} \right)$

$\quad \lambda = \frac{a-b}{a+b}\,$

relativer Fehler:

$\approx \frac{3\varepsilon^{20}}{2^{36}}$

oder mit $\varepsilon$ statt $b$ :

$U \approx a \; \pi \; (1 + \omega) \left(1+ \frac{3\lambda^2}{10+\sqrt{4-3\lambda^2}} \right)\quad$

(5)

mit

$\quad \lambda = \frac{1-\omega}{1+\omega}\quad$

und

$\quad \omega = \sqrt{1-\varepsilon^2}$

Mit Hilfe des nebenstehenden Diagramms kann bei gegebener Exzentrizität $\varepsilon$ und großer Halbachse $a$ der Koeffizient $k = E(2\pi\varepsilon)$ für die Formel $U = k a$ abgelesen werden.

(5) ist in einem weiten $\varepsilon$ -Bereich von $0 \leq \varepsilon \leq 0{,}9$ sehr genau. Der relative Fehler nimmt danach mit zunehmendem $\varepsilon$ stärker zu und beträgt:

Bereich	rel. Fehler
0,0000 ≤ ε < 0,8820	<10^-9
0,8820 < ε < 0,9242	< 10^-8
0,9242 < ε < 0,9577	< 10^-7
0,9577 < ε < 0,9812	< 10^-6
0,9812 < ε < 0,9944	< 10^-5
0,9944 < ε < 0,9995	< 10^-4
0,9995 < ε < 1,0000	< 0,000403

Die Umkehrung, also eine Abbildung die (für eine gegebene Ellipse) der Bogenlänge einen Winkel zuordnet, ist eine elliptische Funktion.

[Bearbeiten] Siehe auch

Kreis
Parabel
Hyperbel
Gabriel Lamé verallgemeinerte die Ellipse zur laméschen Kurve (Superellipse).
Homöoid
Fokaloid

[Bearbeiten] Weblinks

Wiktionary: Ellipse – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen und Grammatik

Commons: Kategorie:Ellipsen – Bilder, Videos und Audiodateien

Berechnungen

Konstruktion

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Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Definitionen und Begriffe

[Bearbeiten] Ellipse als Punktmenge

[Bearbeiten] Ellipse als Kegelschnitt

[Bearbeiten] Scheitel und Achsen

[Bearbeiten] Exzentrizität

[Bearbeiten] Spezielle Abstände

[Bearbeiten] Halbparameter

[Bearbeiten] Hauptlage und analytische Definition

[Bearbeiten] Eigenschaften

[Bearbeiten] Brennpunkteigenschaft

[Bearbeiten] Natürliches Vorkommen und Anwendung in der Technik

[Bearbeiten] Direktrix

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[Bearbeiten] Gärtnerkonstruktion

[Bearbeiten] Ellipsenzirkel

[Bearbeiten] Konstruktion nach de la Hire

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[Bearbeiten] Auf Basis eines Kreises

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[Bearbeiten] Formelsammlung

[Bearbeiten] Ellipsengleichung (kartesische Koordinaten)

[Bearbeiten] Ellipsengleichung (Parameterform)

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[Bearbeiten] Tangentengleichung (kartesische Koordinaten)

[Bearbeiten] Winkel der Ellipsentangente

[Bearbeiten] Herleitung

[Bearbeiten] Normalengleichung (kartesische Koordinaten)

[Bearbeiten] Krümmungsradien

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[Bearbeiten] Siehe auch

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