Dimension (Mathematik)
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In der Mathematik wird mit der Dimension ein Konzept bezeichnet, das im Wesentlichen die Anzahl der Freiheitsgrade einer Bewegung in einem bestimmten Raum bezeichnet.
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[Bearbeiten] Definitionen
Der Begriff der Dimension tritt in einer Vielzahl von Zusammenhängen auf. Kein einzelnes mathematisches Konzept vermag es, die Dimension für alle Situationen zufriedenstellend zu definieren, darum existieren für verschiedene Räume auch unterschiedliche Dimensionsbegriffe.
[Bearbeiten] Hamel-Dimension
Am bekanntesten ist die Dimension eines Vektorraums, auch Hamel-Dimension genannt. Sie ist gleich der Anzahl der Basisvektoren des Vektorraumes. Folgende Aussagen sind zu der ersten äquivalent:
- Die Dimension ist gleich der Mächtigkeit eines minimalen Erzeugendensystems
- Die Dimension ist die größtmögliche Anzahl linear unabhängiger Vektoren in einem Vektorraum
Beispielsweise besitzt der geometrisch anschauliche Euklidische 3-Raum die Dimension 3 (Länge, Breite, Höhe). Das entspricht dem Raum, in dem wir uns selbst bewegen und ist die höchste Dimension, die wir uns noch anschaulich vorstellen können. Die Euklidische Ebene hat die Dimension 2; die Zahlengerade die Dimension 1, der Punkt die Dimension 0.
Vektorräumen, die kein endliches Erzeugendensystem besitzen, kann man ebenfalls die Mächtigkeit eines minimalen Erzeugendensystems als Dimension zuordnen; es handelt sich dabei dann um eine unendliche Kardinalzahl.
Das Wort "Hamel-Basis" wird vor allem für unendlichdimensionale Vektorräume verwendet, weil Georg Hamel als erster (mit Hilfe des Zornschen Lemmas, also des Auswahlaxioms) die Existenz einer Basis auch in diesem Fall bewiesen hat.
[Bearbeiten] Schauder-Dimension
Entsprechend kann man die Mächtigkeit einer Schauderbasis eines topologischen Vektorraums (insbesondere eines Hilbertraums) auch als Dimension bezeichnen.
[Bearbeiten] Mannigfaltigkeiten
Daneben ist die Dimension einer Mannigfaltigkeit ebenfalls anschaulich einsichtig. Per Definition hat jeder Punkt einer Mannigfaltigkeit eine Umgebung, die homöomorph zum n-dimensionalen Euklidischen Raum ist; dieses n heißt Dimension der Mannigfaltigkeit. Um zu verhindern, dass die Dimension von der Wahl des Punktes abhängt, wird der Dimensionsbegriff üblicherweise nur für zusammenhängende Mannigfaltigkeiten verwendet.
Bekannte zweidimensionale Mannigfaltigkeiten sind die Oberfläche einer Kugel oder das Möbiusband.
[Bearbeiten] Kettenlänge als Dimension (topologische Dimension)
Die Dimension eines Vektorraums ist gleich der maximalen Länge (Anzahl von Inklusionen) einer Kette von ineinander enthaltenen Unterräumen. Die Sichtweise der Dimension als Kettenlänge lässt eine Verallgemeinerung auf andere Strukturen zu.
So ist etwa die Krulldimension eines kommutativen Rings als maximale Länge einer Kette von ineinander enthaltenen Primidealen definiert.
Ebenso ist die Dimension einer Mannigfaltigkeit die maximale Länge einer Kette von ineinander enthaltenen Mannigfaltigkeiten, bei der jedes Glied der Kette Rand einer Teilmenge des vorigen ist. Zum Beispiel ist der Rand der Erdkugel die Erdoberfläche; Rand von deren Teilmenge Deutschland ist die Staatsgrenze; Rand eines bestimmten Grenzabschnitts sind die beiden Endpunkte – da es keine längere Kette gibt, hat die Erdkugel Dimension 3. Da Inklusion und Randbildung immer definiert sind, liefert dies einen Dimensionsbegriff für jeden topologischen Raum (sog. induktive Dimension). Ein weiterer topologischer Dimensionsbegriff ist die Lebesgue'sche Überdeckungsdimension.
[Bearbeiten] Hausdorff-Dimension
Neben den bislang angegebenen ganzzahligen Dimensionen kennt man auch verallgemeinerte, rational- oder reell-zahlige Dimensionsbegriffe, mit deren Hilfe so genannte Fraktale verglichen werden können. Ein Beispiel ist die Hausdorff-Dimension.
