Paradoks Banacha-Tarskiego
Z Wikipedii
Paradoks Banacha–Tarskiego (Hausdorffa–Banacha–Tarskiego) – słynne paradoksalne twierdzenie teorii mnogości sformułowane i udowodnione przez polskich matematyków Stefana Banacha i Alfreda Tarskiego w roku 1924.
Pozorny paradoks polega na tym, że korzystając z pewnika wyboru można zwykłą trójwymiarową kulę "rozciąć" na skończoną liczbę części, a następnie używając wyłącznie obrotów i translacji złożyć dwie kule o takich samych promieniach jak promień kuli wyjściowej. Nie jest to jednak istotna sprzeczność, jako że części tego podziału nie są mierzalne w sensie Lebesgue'a, więc naturalna argumentacja oparta na pojęciu miary (czy też objętości) nie ma tu zastosowania.
Podobnie nieintuicyjnym wydaje się wariant twierdzenia Banacha-Tarskiego z którego wynika, że ziarnko grochu może być podzielone na skończenie wiele części, z których (przez izometrie) można złożyć kulę wielkości Słońca. I tutaj nie ma żadnej sprzeczności – kawałki podziału są niemierzalne. (Należy zauważyć, że podział fizycznego ziarnka grochu na niemierzalne części jest niemożliwy w świecie rzeczywistym.)
Twierdzenie Banacha-Tarskiego i pokrewne wyniki mają duże znaczenie we współczesnej matematyce, jako że wskazują one ograniczenia na możliwe rozszerzenia miary Lebesgue'a niezmiennicze na pewne przekształcenia przestrzeni euklidesowych.[1]
Spis treści |
[edytuj] Rys historyczny
- 1905: Giuseppe Vitali podaje przykład zbioru niemierzalnego na okręgu jednostkowym, który to zbiór jest podstawą rozkładu σ-paradoksalnego okręgu[2]. (Zobacz sekcja poniżej.)
- 1914: polscy matematycy Stefan Mazurkiewicz i Wacław Sierpiński publikują przykład paradoksalnego podzbioru płaszczyzny [3].
- 1915: Felix Hausdorff publikuje twierdzenie, że po usunięciu przeliczalnie wielu punktów ze sfery jednostkowej można otrzymać zbiór który jest paradoksalny ze względu na grupę obrotów SO3[4].
- 1924: praca Banacha i Tarskiego przedstawiająca dowód ich twierdzenia ukazuje się w druku[5].
- 1991: wrocławski matematyk Janusz Pawlikowski wykazuje, że zakładając ZF i twierdzenie Hahna-Banacha można udowodnić paradoks Banacha-Tarskiego[6].
- 1994: Randall Dougherty i Matthew Foreman dowodzą, że jest możliwy paradoksalny rozkład kuli na kawałki które mają własność Baire'a[7].
[edytuj] Wstępne przykłady
- W zasadzie już Galileusz[8] zauważył, że zbiór liczb naturalnych może być podzielony na dwie części z których każda może być odwzorowana w sposób wzajemnie jednoznaczny na cały zbiór . Rozważmy na przykład zbiór liczb parzystych i jego dopełnienie czyli zbiór liczb nieparzystych . Funkcja jest bijekcją z P na oraz funkcja jest bijekcją z N na .
- Każde dwa nietrywialne odcinki na prostej rzeczywistej są równoliczne (w ZF) i funkcja ustalająca równoliczność jest bardzo porządna (np w przypadku dwóch przedziałów otwartych może być to funkcja liniowa). Zatem każdy nietrywialny odcinek może być podzielony na dwie rozłączne części (odcinki) i każda z tych części może być odwzorowana w sposób wzajemnie jednoznaczny na odcinek wyjściowy. Podobna obserwacja ma miejsce w odniesieniu do prostokątów, prostopadłościanów i wielu innych figur geometrycznych.
- Rozważmy zbiór Vitalego na okręgu jednostkowym. Najwygodniej jest ten zbiór opisać jeśli zinterpretujemy punkty płaszczyzny jako liczby zespolone. Nasz okrąg to zbiór . Określmy na tym zbiorze relację równoważności przez warunek
-
- wtedy i tylko wtedy gdy r − s jest liczbą wymierną.
- Zakładając aksjomat wyboru, możemy znaleźć zbiór który jest selektorem z klas abstrakcji relacji . Zatem zbiór M spełnia następujące dwa warunki:
- (a) oraz
- (b) .
- Przedstawmy zbiór liczb wymiernych w przedziale [0,1) jako sumę dwóch zbiorów nieskończonych. Wówczas każdy ze zbiorów A,B jest równoliczny ze zbiorem , a więc możemy wybrać funkcje wzajemnie jednoznaczne i . Rozważmy zbiory
- i .
- Wówczas , oraz funkcje
- i
- są bijekcjami.
W powyższych przykładach użyte funkcje wzajemnie jednoznaczne, nawet jeśli są bardzo porządne, to nie zachowują odległości punktów (czyli nie są izometriami). Zatem przykłady te nie wzbudzają żadnego zdziwienia: odpowiednie zbiory są powiększone/rozdmuchane przez odpowiadające im funkcje. Można jednak zapytać, czy podobne rozkłady istnieją z dodatkową własnością taką, że funkcje ustalające równoliczność kawałków z wyjściowym zbiorem są izometriami (ze względu na naturalne metryki).
- Zbiór Vitalego dyskutowany wcześniej pozwala zbudować przykład podziału na przeliczalnie wiele części, tak że z dowolnych nieskończenie wielu kawałków można złożyć wyjściowy okrąg używając obrotów tylko. Niech zbiór M będzie wybrany jak powyżej. Dla połóżmy . Wówczas jest przeliczalną rodziną parami rozłącznych podzbiorów okręgu O. Przypuśćmy, że jest zbiorem nieskończonym. Ustalmy bijekcję i zauważmy że
-
- gdzie jest obrotem o kąt .
- Mazurkiewicz i Sierpiński podali w 1914 następujący przykład paradoksalnego (ze względu na izometrie) podzbioru płaszczyzny. Jak wcześniej, utożsamiamy płaszczyznę ze zbiorem liczb zespolonych. Niech
-
- ,
- ,
- .
- Można łatwo sprawdzić, że , (przypomnijmy, że ei jest liczbą przestępną) oraz
- F0[Z0] = Z gdzie jest obrotem, a
- F + [Z + ] = Z gdzie jest przesunięciem.
[edytuj] Rozkłady paradoksalne
[edytuj] Definicje
Przypuśćmy, że grupa G działa na zbiorze X.
- Powiemy, że zbiór jest paradoksalny ze względu na działanie grupy G jeśli można znaleźć parami rozłączne zbiory (gdzie ) oraz elementy grupy G takie, że
- oraz .
Intuicyjnie, można powiedzieć że A jest paradoksalny ze względu na działanie grupy G jeśli można podzielić zbiór A na skończenie wiele kawałków z których można złożyć dwie kopie zbioru A używając bijekcji wyznaczonych przez elementy grupy G.
- Zbiór jest σ-paradoksalny ze względu na działanie grupy G jeśli można znaleźć parami rozłączne zbiory oraz elementy grupy G takie, że
- oraz .
- Niech . Powiemy, że zbiory A i B są kawałkami G-równoważne jeśli można wybrać , , , oraz tak że
-
- (a) dla ,
- (b) ,
- (c) gi(Ai) = Bi dla każdego .
[edytuj] Przykłady
- Zakładając aksjomat wyboru, okrąg jednostkowy jest σ-paradoksalny ze względu na grupę obrotów SO2 okręgu. (Zobacz dyskusję zbioru Vitalego wcześniej.)
- Zbiór Z podany przez Mazurkiewicza i Sierpińskiego (dyskutowany wcześniej) jest paradoksalny ze względu na grupę izometrii płaszczyzny.
- Rozważmy grupę wolną F2 o dwóch generatorach a i b działającą na sobie przez mnożenie z lewej strony. (Tak więc elementowi odpowiada bijekcja .) Dla niech S(x) będzie zbiorem wszystkich elementów grupy F2 (słów w formie nieskracalnej) które zaczynają się od x. Zauważmy, że
-
- i zbiory występujące w tej sumie są rozłączne, oraz
- i .
- Zatem F2 jest zbiorem paradoksalnym ze względu na działanie grupy F2.
[edytuj] Twierdzenia
W poniższych stwierdzeniach zakładamy aksjomat wyboru (tzn. są to twierdzenia ZFC).
- Przypuśćmy, że
-
- (a) grupa G działa na zbiorze X w taki sposób że żadne z odwzorowań nie ma punktów stałych (dla ),
- (b) G jest zbiorem paradoksalnym ze względu na działanie grupy G (przez mnożenie z lewej strony).
- Wówczas zbiór X jest paradoksalny ze względu na działanie grupy G.
- Z powyższego twierdzenia wynika, że jeśli grupa wolna F2 działa na zbiorze X w taki sposób, że żadne z odwzorowań nie ma punktów stałych (dla ), to zbiór X jest paradoksalny ze względu na działanie grupy F2.
- Istnieje przeliczalny podzbiór D sfery jednostkowej S2 taki, że zbiór jest paradoksalny ze względu na działanie grupy obrotów SO3.
- Jeśli jest przeliczalny, to zbiory S2 i kawałkami SO3-równoważne.
Bezpośrednio z dwóch powyższych twierdzeń możemy wywnioskować twierdzenie Banacha-Tarskiego:
- Sfera jednostkowa S2 jest paradoksalna ze względu na działanie grupy obrotów SO3.
Kolejne wyniki są wnioskami z powyższego twierdzenia. Niech I3 będzie grupą izometrii przestrzeni .
- Każda kula w jest paradoksalna ze względu na działanie grupy I3. Również sama przestrzeń jest paradoksalna ze względu na działanie tej grupy.
- Jeśli są zbiorami ograniczonymi o niepustych wnętrzach, to zbiory A, B są kawałkami I3-równoważne.
[edytuj] Bibliografia
- ↑ Wagon, Stan: The Banach-Tarski paradox. "Encyclopedia of Mathematics and its Applications", 24. Cambridge University Press, Cambridge, 1985. ISBN 0-521-30244-7.
- ↑ Vitali, Giuseppe: Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta. Bologna: Gamberini e Parmeggiani, 1905.
- ↑ Mazurkiewicz, Stefan; Sierpiński, Wacław: Sur un ensemble superposable avec chacune de ses deux parties. "C. R. Acad. Sci. Paris."158 (1914), s. 618-619.
- ↑ Hausdorff, Felix: Bemerkung über den Inhalt von Punktmengen. "Math. Ann." 75 (1915), s. 428-433.
- ↑ Banach, Stefan; Tarski, Alfred: Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes, "Fundamenta Mathematicae" 6 (1924), s. 244-277. Dostępna w formacie pdf tutaj.
- ↑ Pawlikowski, Janusz: The Hahn-Banach theorem implies the Banach-Tarski paradox. "Fundamenta Mathematicae" 138 (1991), s. 21-22.
- ↑ Dougherty, Randall; Foreman, Matthew. Banach-Tarski decompositions using sets with the property of Baire. "J. Amer. Math. Soc." 7 (1994), s. 75-124.
- ↑ Galileo Galilei. Discorsi e dimostrazioni matematiche, intorno à due nuove scienze, 1638