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円錐台 - Wikipedia

円錐台

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』

円錐台（えんすいだい、circular truncated cone）とは円錐を底面に平行な平面で切り、小円錐の部分を除いた立体のことである。プリンの形は一般的には円錐台である。受験数学、特に中学入試ではよく出る図形である。

目次

[編集] 体積

[編集] 初等的な導出

錐体の体積公式を知っているが積分計算は知らない場合（日本の多くの小中学生はそうである）、体積を求めるには、円錐から小円錐を取り除いたと考えればよい。円錐台の上底の半径をr1、下底の半径をr2、高さをhとすると、もとの大きな円錐の高さHは

\frac{r_1}{r_2} = \frac{H-h}{H}

を満たす。これをHについて解くと、

H = \frac{r_2 h}{r_2 - r_1}

円錐台の体積Vは

V = \frac{1}{3} \pi r_2^2 H - \frac{1}{3} \pi r_1^2 (H-h)

なので、先ほどのHを代入して整理すると、

V = \frac{\pi h}{3}(r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2)

これは、上底の面積をS1、下底の面積をS2とすると

V = \frac{h}{3}(S_1 + \sqrt{S_1S_2} + S_2)

とも表せる。

[編集] 積分

体積を求めるには、底面となる円の面積を積分してもよい。

V = \int_{0}^{h} \pi \left\{ \frac{r_1-r_2}{h} x + r_2\right\}^2 \, dx = \frac{\pi h}{3}(r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2)

または、台形を回転させた回転体と見ることもできる。回転軸から台形の重心までの距離が

\frac{r_1^2+r_1r_2+r_2^2}{3(r_1+r_2)}

であることに注意してパップス＝ギュルダンの定理を用いると、

V = 2 \pi \frac{r_1^2+r_1r_2+r_2^2}{3(r_1+r_2)} \frac{h(r_1+r_2)}{2}= \frac{\pi h}{3}(r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2)

[編集] 関連項目


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