ダランベールの収束判定法

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ダランベールの収束判定法(―のしゅうそくはんていほう、ratio test) とは、実数や複素数を項にもつ級数が、収束するか発散するかを判定する方法である。級数における、前後の項の比を考える。もし、この比の極限が 1 未満であれば、級数は絶対収束する。

この判定法は、ジャン・ル・ロン・ダランベールによって発表された。

[編集] 判定法

厳密には、ダランベールの収束判定法は、次のように述べられる。

$\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1$

であれば、級数

$\sum_{n=1}^\infty a_n$

は絶対収束する。また、

$\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|>1$

であれば、級数は発散する。

もし、極限がちょうど 1 であれば、級数は収束する場合もあるし、発散する場合もある。従って、この場合は、ダランベールの収束判定法ではどちらとも言えない。

[編集] 例

[編集] 収束する場合

次の級数を考える。

$\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{e^n}$

これに、ダランベールの収束判定法を適用すると、

$\lim_{n\rightarrow\infty}\left\|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\|$	= $\lim_{n\rightarrow\infty}\left\|\frac{\frac{n+1}{e^{n+1}}}{\frac{n}{e^n}}\right\|$
	= $\lim_{n\rightarrow\infty}\left\|\frac{n+1}{e^{n+1}}\cdot\frac{e^n}{n}\right\|$
	= $\lim_{n\rightarrow\infty}\left\|\frac{n+1}{n}\cdot\frac{e^n}{e^n\cdot e}\right\|$
	= $\lim_{n\rightarrow\infty}\left\|(1+\frac{1}{n})\cdot\frac{1}{e}\right\|$
	= $1\cdot\frac{1}{e}$
	= $\frac{1}{e} (<1)$

従って、 $\frac{1}{e}$ は 1 より小さいため、級数は収束する。

[編集] 発散する場合

次の級数を考える。

$\sum_{n=1}^\infty\frac{e^n}{n}$

これに、ダランベールの収束判定法を適用すると、

$\lim_{n\rightarrow\infty}\left\|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\|$	= $\lim_{n\rightarrow\infty}\left\|\frac{\frac{e^{n+1}}{n+1}}{\frac{e^n}{n}}\right\|$
	= $\lim_{n\rightarrow\infty}\left\|\frac{e^{n+1}}{n+1}\cdot\frac{n}{e^n}\right\|$
	= $\lim_{n\rightarrow\infty}\left\|\frac{n}{n+1}\cdot\frac{e^n\cdot e}{e^n}\right\|$
	= $\lim_{n\rightarrow\infty}\left\|(1-\frac{1}{n+1})\cdot e\right\|$
	= $1\cdot e$
	= $\!\, e (>1)$

従って、e は 1 より大きいため、級数は発散する。

[編集] どちらとも言えない場合

もし、級数が

$\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1$

を満たす場合、ダランベールの判定条件から、収束するか発散するかを推定することは不可能である。

例えば、級数

$\sum_{n=1}^\infty 1$

は発散し、

$\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{1}{1}\right| = 1.$

である。一方で、

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$

は絶対収束するが、

$\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{\frac{1}{(n+1)^2}}{\frac{1}{n^2}}\right| = 1.$

である。最後に、

$\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{1}{n}$

は条件収束するが、

$\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{\frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)}}{\frac{(-1)^{n}}{n}}\right| = 1.$

である。

[編集] どちらとも言えない場合には

以上の例で見たとおり、比の極限が 1 である場合は、ダランベールの収束判定法ではどちらとも言えない。しかし、ラーベによるダランベールの収束判定法の拡張（ラーベの収束判定法）では、このような場合を扱うことも考慮に入れることができる。ラーベの収束判定法は、次のように述べられる。もし、

$\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1$

で、かつ正数 c が存在して

$\lim_{n\rightarrow\infty} \,n\left(\,\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|-1\right)=-1-c$

を満たす場合、級数は絶対収束する。

[編集] 関連記事

[編集] 参考文献

Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc., New York, 1956. (§ 3.3, 5.4) ISBN 0486601536

Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1963. (§ 2.36, 2.37) ISBN 0521588073

カテゴリ: 解析学 | 数学に関する記事

$\lim_{n\rightarrow\infty}\left\|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\|$	= $\lim_{n\rightarrow\infty}\left\|\frac{\frac{n+1}{e^{n+1}}}{\frac{n}{e^n}}\right\|$
	= $\lim_{n\rightarrow\infty}\left\|\frac{n+1}{e^{n+1}}\cdot\frac{e^n}{n}\right\|$
	= $\lim_{n\rightarrow\infty}\left\|\frac{n+1}{n}\cdot\frac{e^n}{e^n\cdot e}\right\|$
	= $\lim_{n\rightarrow\infty}\left\|(1+\frac{1}{n})\cdot\frac{1}{e}\right\|$
	= $1\cdot\frac{1}{e}$
	= $\frac{1}{e} (<1)$

$\lim_{n\rightarrow\infty}\left\|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\|$	= $\lim_{n\rightarrow\infty}\left\|\frac{\frac{e^{n+1}}{n+1}}{\frac{e^n}{n}}\right\|$
	= $\lim_{n\rightarrow\infty}\left\|\frac{e^{n+1}}{n+1}\cdot\frac{n}{e^n}\right\|$
	= $\lim_{n\rightarrow\infty}\left\|\frac{n}{n+1}\cdot\frac{e^n\cdot e}{e^n}\right\|$
	= $\lim_{n\rightarrow\infty}\left\|(1-\frac{1}{n+1})\cdot e\right\|$
	= $1\cdot e$
	= $\!\, e (>1)$

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