Quotientenkriterium

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Das Quotientenkriterium (d'Alembert-Kriterium, nach Jean Baptiste le Rond d'Alembert) ist ein mathematisches Konvergenzkriterium, also Mittel zur Entscheidung, ob eine unendliche Reihe konvergent oder divergent ist.

Inhaltsverzeichnis

1 Beschreibung
2 Beweis
3 Abgewandeltes Quotientenkriterium
- 3.1 Für Konvergenz
- 3.2 Für Divergenz
4 Anwendungen
5 Literatur
6 Weblinks

[Bearbeiten] Beschreibung

Sei eine unendliche Reihe

$S := \sum_{n=0}^\infty a_n$

mit reellen oder komplexen Summanden $a n$ und $n \in \mathbb{N}$ gegeben.

[Bearbeiten] Konvergenz

Gilt

$\limsup_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| <1$ ,

so konvergiert die Reihe S, und das sogar absolut, d.h. $\sum_{n=0}^\infty \left|a_n\right|$ konvergiert.

Äquivalent: Falls ein festes q und ein Index N existieren, so dass

$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \le q<1$

für alle n ≥ N, dann konvergiert die Reihe S.

Dieses Kriterium folgt mit dem Majorantenkriterium aus der Konvergenz von $\sum_{n=0}^\infty q^n$ , einer geometrischen Reihe (s. Beweis).

[Bearbeiten] Divergenz

Existiert jedoch ein Index N $\in \mathbb{N}$ sodass

$\frac{a_{n+1}}{a_n}\geq 1$

für alle $n\geq N$ , so divergiert die Reihe.

[Bearbeiten] Unbestimmt

In allen anderen Fällen lässt sich nichts über die Konvergenz aussagen. So lässt sich beispielsweise mit dem Quotientenkriterium keine Aussage über die Konvergenz der allgemeinen harmonischen Reihe $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}$ für $\alpha \ge 1$ machen, da $\limsup_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^\alpha=1$ , aber $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left(\frac{n}{n+1}\right)^\alpha<1$ . Für $α = 1$ ist die allgemeine harmonische Reihe divergent, für $α > 1$ konvergent; das Quotientenkriterium kann aber die beiden Fälle nicht unterscheiden.

Ist die Reihe nach dem Quotientenkriterium konvergent, erhält man noch eine Fehlerabschätzung, d.h. eine Abschätzung des Restglieds der Summe nach N Summanden:

$|S-S_N| = \left|\sum_{n=N+1}^\infty a_n \right| \le |a_{N+1}| { 1 \over 1-C }$ .

[Bearbeiten] Beweis

Da die Konvergenz oder Divergenz einer Reihe unveränderlich ist wenn man endlich viele Summanden ändert, kann man für den Beweis auch $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\leq q <1$ für ALLE $n \in \mathbb{N}$ annehmen. Es folgt $q \in ]0,1[$ und $\left|a_{n+1}\right| \leq q \left|a_{n}\right|$ und damit $q \left|a_{n}\right| \leq q^2 \left|a_{n-1}\right| \leq ... \leq q^{n}\left|a_1\right| \leq q^{n+1} \left|a_0\right|$ . Die Geometrische Reihe $\sum_{n=0}^\infty q^n \left|a_0\right|$ ist Majorante von $\sum_{n=0}^\infty a_n$ und konvergiert:

$\sum_{n=0}^\infty \left| a_0 \right| q^n = \left|a_0 \right|\sum_{n=0}^\infty q^n = \left|a_0 \right| {1-q^{\infty}\over {1-q}} = \left|a_0 \right| {1-0\over {1-q}} = {\left|a_0 \right|\over {1-q}}$ .

Nach dem Majorantenkriterium konvergiert damit auch $\sum_{n=0}^\infty a_n$ .

[Bearbeiten] Abgewandeltes Quotientenkriterium

Neben dem "gewöhnlichen" Quotientenkriterium gibt es noch folgende Versionen (siehe auch Kriterium von Raabe):

[Bearbeiten] Für Konvergenz

Sei $(a n)$ eine Folge mit echt positiven Gliedern. Wenn nun gilt, dass:

$\exists d>1,n_0\in\mathbb{N}:\forall n\ge n_0:\frac{a_{n+1}}{a_n}\le 1-\frac{d}{n}$

so gilt:

$\sum_{n=1}^\infty a_n$ ist konvergent.

[Bearbeiten] Für Divergenz

Es sei $(a n)$ wie oben. Wenn nun gilt, dass:

$\exists n_0:\forall n\ge n_0: \frac{a_{n+1}}{a_n}\ge 1-\frac{1}{n}$

so gilt:

$\sum_{n=1}^\infty a_n$ divergiert gegen $\infty$ .

[Bearbeiten] Anwendungen

Mit dem Quotientenkriterium lässt sich beispielsweise die Konvergenz der Taylorreihen für die Exponentialfunktion und für die Sinus- und Kosinusfunktionen zeigen.

[Bearbeiten] Literatur

Otto Forster: Analysis I Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Rowohlt Taschenbuch Verlag GmbH, Hamburg 1976.

[Bearbeiten] Weblinks

Mathematik-Online-Lexikon (Definition und Beweis)

Kategorie: Folgen und Reihen

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