Criterio de d'Alembert

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El Criterio de d'Alembert se utiliza para calcular el límite, para n tendiendo a infinito, de una sucesión A_n cualquiera.Y para calcular el radio de convergencia de una serie numérica.

Establece que si se toma el límite para n tendiendo a infinito de A_n+1/A_n se obtiene un número L, con los siguientes casos:

Si L<1, A_n converge.
Si L>1, A_n diverge.
Si L=1, el criterio no dice nada y es necesario calcular el límite de otro modo.

El criterio de D'Alambert se utiliza para clasificar las series numéricas. Podemos enunciarlo de la siguiente manera:

Sea: $\sum_0^{\infty}f(n)$

Tal que:

f(n)>0 (o sea una sucesión de terminos positivos) y
f(n) tienda a cero cuando n tiende a infinito (condición necesaria de convergencia)

Se procede de la siguiente manera:

$\lim_{n \to \infty}\frac{f(n+1)}{f(n)}=L$ con n tendiendo a infinito.

Así obtenemos L y se clasifica de la siguiente manera:

L < 1 la serie converge
L > 1 la serie diverge
L = 1 el criterio no sirve hay que aplicar otro criterio.

[editar] Ejemplo

Sea: $f(n)=\frac{n+1}{n!}$

Clasificar $\sum_1^{\infty}f(n)$

a) $f(n)=\frac{n+1}{n!} > 0$

b) $\frac{n+1}{n!}$ tiende a cero conforme crece n (porque el factorial siempre es mayor)

c) Aplicando D'Alambert:

$L=\lim_{n \to \infty}\frac{f(n+1)}{f(n)} = \lim_{n \to \infty}\frac{\frac{n+2}{(n+1)!}}{\frac{n+1}{n!}} = \lim_{n \to \infty}\frac{n+2}{(n+1)!}\frac{n!}{(n+1)}=\lim_{n \to \infty}\frac{(n+2)}{(n+1)^2}=\lim_{n \to \infty}\frac{(n+1)+1}{(n+1)^2}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n+1} + \frac{1}{(n+1)^2}\right)=0$

y como L<1, la serie $\sum_1^{\infty}f(n)$ converge.

[editar] Véase también

Jean Le Rond d'Alembert

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