コーシーの収束判定法

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コーシーの収束判定法(―のしゅうそくはんていほう、root test) とは、無限級数の収束性を判定する方法である。とりわけ、冪級数に関連することに有用である。「コーシーの収束判定法」という名前は、これを最初に発見したオーギュスタン＝ルイ・コーシーに由来する。

$C = \limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|}$

（"lim sup" は上極限を意味する）とするとき、C < 1 であれば級数は収束し、C > 1 であれば発散する。C = 1 ならば、この判定法ではどちらとも言えない。もし、級数の項が c を中心とする冪級数

$\sum_{n=0}^\infty a_n (z-c)^n$

の係数であれば、この冪級数の収束半径は 1/C である。これは、0 の逆数として考えた ∞ も含む。

[編集] 証明

証明は、比較判定法を利用したものである。もし、全ての $n\geq N$ に対し $\sqrt[n]{a_n}<k<1$ ならば、 $a n < k n < 1$ が成立する。比較判定法より、幾何級数 $\sum_{i=N}^\infty k^i$ が収束すれば、 $\sum_{i=N}^\infty a_n$ もまた収束する。

もし、 $\sqrt[n]{a_n}>1$ ならば、 $\sum_{i=N}^\infty 1$ と比較して級数は発散する。a_n が非正である場合の絶対収束性は、 $\sqrt[n]{|a_n|}$ を用いれば同様にして証明できる。

[編集] 関連記事

[編集] 参考文献

Knopp, Konrad (1956). “§ 3.2”, Infinite Sequences and Series. Dover publications, Inc., New York. ISBN 0486601536.
Whittaker, E. T., and Watson, G. N. (1963). “§ 2.35”, A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press. ISBN 0521588073.

この記事は、GFDLライセンスに基づくPlanetMathの記事、Proof of Cauchy's root test を資料として取り入れています。

カテゴリ: 解析学 | 数学に関する記事

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