Trasformata zeta

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In matematica e nella teoria dei segnali, la trasformata-z converte un segnale discreto nel dominio del tempo (che non è altro che una sequenza di numeri reali) in una rappresentazione nel dominio della frequenza.

Indice

1 Definizione
2 Regione di convergenza
- 2.1 Trasformata-Z Bilatera
- 2.2 Trasformata-Z Unilatera
3 Trasformata-Z inversa
4 Tabella delle più comuni trasformate-Z
5 Voci correlate
6 Bibliografia
7 Collegamenti esterni

[modifica] Definizione

La trasformata-z, come molte altre trasformate integrali, può essere definita sia come unilatera che come bilatera.

[modifica] Regione di convergenza

La regione di convergenza (RdC) è la parte di piano complesso dove la serie che definisce la Z-trasformata di un segnale converge.

$RdC = \{z : \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n} < \infty\}\$

Converge per valori di z MAGGIORI in modulo del raggio di convergenza definito come

$R = \limsup_{n\to\infty} \left|x[n]\right|^{-\frac{1}{n}}$ ;

[modifica] Trasformata-Z Bilatera

La Z-trasformata bilatera di un segnale tempo discreto x[n] è la funzione X(z) definita come

$X(z) = Z\{x[n]\} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n} \$

dove n è un intero e z è, in generale, un numero complesso:

z = A e j φ

dove A è il modulo di z, e φ è la fase (in radianti).

[modifica] Trasformata-Z Unilatera

Alternativamente, nei casi in cui x[n] è definita soltanto per n ≥ 0, la Z-trasformata unilatera è definita come

$X(z) = Z\{x[n]\} = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n} \$

Nella teoria dei segnali, questa definizione è utilizzata quando il segnale è causale.

[modifica] Trasformata-Z inversa

L'espressione della trasformata z inversa può essere ottenuta utilizzando il teorema integrale di Cauchy. In particolare, utilizzando questo teorema e partendo dalla relazione sulla trasformata-Z

$X(z) = Z\{x[n]\} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n} \$

si ottiene:

$x(n) = \frac{1}{2\pi j} \oint_{\gamma} X(z) z^{n-1} \ dz$

dove gamma è un percorso antiorario chiuso che è situato nella regione di convergenza di X(z) e circonda l'origine del piano z. Questa relazione vale sia per n positivi, che per n negativi.

[modifica] Tabella delle più comuni trasformate-Z

	Segnale, $x (n)$	Z-trasformata, $X (z)$	RdC
1	$\delta(n)\,$	$1\,$	$\forall z \in \C$
2	$u(n)\,$	$\frac{1}{1-z^{-1}}$	$\|z\| > 1\,$
3	$a^n u(n)\,$	$\frac{1}{1-a z^{-1}}$	$\|z\| > \|a\|\,$
4	$n a^n u(n)\,$	$\frac{az^{-1} }{ (1-a z^{-1})^2 }$	$\|z\| > \|a\|\,$
5	$-a^n u(-n-1)\,$	$\frac{1}{1-a z^{-1}}$	$\|z\| < \|a\|\,$
6	$-n a^n u(-n-1)\,$	$\frac{az^{-1} }{ (1-a z^{-1})^2 }$	$\|z\| < \|a\|\,$
7	$\cos(\omega_0 n) u(n) \,$	$\frac{ 1-z^{-1} \cos(\omega_0) }{ 1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+ z^{-2} }$	$\|z\| >1\,$
8	$\sin(\omega_0 n) u(n) \,$	$\frac{ z^{-1} \sin(\omega_0) }{ 1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+ z^{-2} }$	$\|z\| >1\,$
9	$a^n \cos(\omega_0 n) u(n) \,$	$\frac{ 1-a z^{-1} \cos( \omega_0) }{ 1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+ a^2 z^{-2} }$	$\|z\| > \|a\|\,$
10	$a^n \sin(\omega_0 n) u(n) \,$	$\frac{ az^{-1} \sin(\omega_0) }{ 1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+ a^2 z^{-2} }$	$\|z\| > \|a\|\,$

[modifica] Voci correlate

[modifica] Bibliografia

El Jury Theory and Applications of the z-Transform Method (John Wiley & Sons, NY, 1964)
Yutaka Yamamoto Digital Control Wiley Encyclopedia of Electrical and Electronics Engineering, 5, 445--457 (1999). PDF

[modifica] Collegamenti esterni

(EN) MathWorld Trasformata Zeta
(EN) MathWorld Trasformata Zeta Unilaterale
(EN) MathWorld Trasformata Zeta Bilaterale
(EN) J. H. Matthews e R. W. Howell Introduction to the Z-transform (California State University, Fullerton)
(EN) Springer Encyclopedia of Mathematics: Z-Transform

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