Teorema di Riesz-Fischer

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In matematica, il Teorema di Riesz–Fischer dell'analisi reale stabilisce che una funzione è a quadrato integrabile se e solo se la serie dei coefficienti di Fourier converge nello spazio $l 2$ .

Questo significa che se l'N-esima somma parziale della serie di Fourier, corrispondente a una funzione $f$ , è data da

$S_N f(x) = \sum_{n=-N}^{N} F_n \,e^{inx},$

dove $F n$ , l'n-esimo coefficiente di Fourier, è dato da

$F_n =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\,e^{-inx}\,dx$ ,

allora

$\lim_{n \to \infty} \left \Vert S_n f - f \right \| = 0,$

dove $\left \Vert g \right \|$ è la norma- $L 2$ , espressa come

$\left \Vert g \right \| = \int_{-2 \pi}^{2 \pi} g^2\, dx.$

Viceversa, se $\left \{ a_n \right \} \quad$ è una successione bilatera di numeri complessi (ossia, il suo indice spazia da meno infinito a più infinito, da $-\infty$ a $+\infty$ ) tale che

$\sum_{n=-\infty}^\infty \left | a_n \right \vert^2 < \infty,$

allora esiste una funzione $f$ a quadrato integrabile, tale che i valori $a n$ sono i coefficienti di Fourier di $f$ .

Il Teorema di Fischer-Riesz è una forma più forte della diseguaglianza di Bessel, è si può adoperare per dimostrare l'identità di Parseval per le serie di Fourier.

Questo teorema è stato scoperto indipendentemente dal matematico ungherese Frigyes Riesz e dal matematico austriaco Ernst Fischer, nel 1907.

[modifica] Generalizzazione

Il Teorema di Riesz-Fischer si applica anche in contesti più generali. Sia $E$ uno spazio dotato di prodotto scalare (ovvero uno spazio euclideo), e sia { $φ n$ } un sistema ortonormale (ad esempio una base di Fourier, i polinomi di Hermite o di Laguerre, ecc. -- vedi polinomi ortogonali), non necessariamente completo (in uno spazio euclideo, un sistema ortonormale è completo se e solo se è chiuso)^{[citazione necessaria]}. Il teorema afferma che se $E$ è completo, allora ogni successione { $c n$ } che abbia norma $l 2$ finita, definisce una funzione $f$ in $L 2$ , ovvero $f$ è a quadrato integrabile.

La funzione $f$ è definita come $f = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n c_k \varphi_k$ .

Insieme alla Diseguaglianza di Bessel, si ricava il viceversa: if $f$ è a quadrato integrabile, allora i coefficienti di Fourier $(f,φ n)$ hanno norma $l 2$ finita.

[modifica] Bibliografia

(EN) Beals, Richard (2004). Analysis: An Introduction. New York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-60047-2.
(EN) John Horváth. On the Riesz-Fischer theorem (PDF).
(EN) Weisstein, Eric W. Reisz-Fischer Theorem.