Teorema di Parseval

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Il Teorema o Identità di Parseval è un teorema dell'analisi complessa.

Questo teorema prende il nome dal matematico francese Marc-Antoine Parseval.

[modifica] Enunciato

Data una funzione generalmente $C^2\;$ su $\R\;$ e con derivate fino a quella di secondo ordine assolutamente convergenti, allora l'area sottesa dal modulo al quadrato della funzione è uguale a quella sottesa dal modulo al quadrato della sua trasformata di Fourier.

[modifica] Dimostrazione (Teorema di Plancherel)

In ambito ingegneristico questo teorema che più propriamente è detto di Plancherel viene comunemente attribuito a Parseval che in realtà risulta esserne un caso particolare.

Sia $s(t):\mathbb{C}\longrightarrow\mathbb{R}^2;$ con $\int_{-\infty}^\infty|s(t)|^2\mathrm{d}t<\infty$

$\int_{-\infty}^\infty|s(t)|^2\mathrm{d}t$ = $\int_{-\infty}^\infty s(t)\hat s(t)\mathrm{d}t$ = $\int_{-\infty}^\infty S(f)\hat S(f)\mathrm{d}f$ = $\int_{-\infty}^\infty\ |S(f)|^2\mathrm{d}f$

$s(t)\;$ indica la funzione.

$\hat s(t)$ indica la funzione coniugata

$S(f)\;$ indica la trasformata di Fourier (riferita alle frequenze) di $s(t)\;$

[modifica] Dimostrazione (Teorema di Parseval)

Sia s(t) un segnale periodico di periodo T sviluppabile in serie di Fourier:

$s(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n\,e^{2\pi i\frac{n}{T}t}$

$c_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} s(t)\,e^{-2\pi i\frac{n}{T}t} dt$

con

$f=\frac{n}{T}$

$\omega=2\pi f\;$

$E=\;$ $\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} |s(t)|^2 dt$ = $\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} |\sum_{n=-\infty}^\infty c_n\,e^{2\pi i\frac{n}{T}t}|^2dt$ = $\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2}(\sum_{n=-\infty}^\infty c_n\,e^{2\pi i\frac{n}{T}t}\sum_{n=-\infty}^\infty \hat c_n\,e^{-2\pi i\frac{n}{T}t}) dt$

$=\;$ $\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2}(\sum_{n=-\infty}^\infty c_n\hat c_n)dt$ $=\;$ $T\sum_{n=-\infty}^\infty |c_n|^2$

[modifica] Applicazioni

In molte occasioni (soprattutto in Teoria dei Segnali) risulta necessario calcolare l'energia di un segnale (data dall'integrale del modulo al quadrato della funzione considerata). Poiché questo talvolta risulta particolarmente complicato può essere molto utile calcolare l'energia a partire dalla sua trasformata.

Esempio

Si determini la potenza del segnale s(t) di periodo T.

$s(t)=3sen\frac{2\pi t}{T}$