Spazio lenticolare
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
In matematica, uno spazio lenticolare è una particolare varietà ellittica. Si tratta di una 3-varietà avente una struttura di varietà riemanniana con curvatura sezionale ovunque pari a +1. Uno spazio lenticolare è indicato con
e dipende da una coppia di interi coprimi (p,q). Gli spazi lenticolari sono 3-varietà particolarmente semplici, il cui gruppo fondamentale è un gruppo ciclico finito.
Indice |
[modifica] Definizione
Sia S3 l'ipersfera in 
. Identificando con 
, questa può essere definita come
Sia (p,q) una coppia di interi coprimi, con p > 0. Sia ω la radice dell'unità
Anche l'elemento ωq è una radice primitiva p-esima dell'unità. Si consideri l'applicazione lineare
La mappa f è un isomorfismo lineare su 
. Poiché | ω | = | ωq | = 1, la f preserva la norma dei vettori e quindi manda S3 in sé. Letta su , è rappresentata da una matrice ortogonale 
. Si tratta quindi di una isometria di : in particolare, preserva S3 e si restringe ad una isometria di S3
L'isometria f genera un gruppo di isometrie
isomorfo al gruppo ciclico di ordine p. Lo spazio lenticolare è lo spazio quoziente rispetto a questo gruppo di isometrie.
[modifica] Proprietà
[modifica] Varietà ellittica
Il gruppo di isometrie generato da f agisce in modo libero e propriamente discontinuo. Il quoziente è quindi una varietà topologica compatta e la proiezione
è un rivestimento. Si tratta del rivestimento universale, poiché S3 è semplicemente connessa.
Poiché la f è una isometria, il quoziente L(p,q) eredita una struttura di varietà riemanniana. Come S3, questa ha curvatura sezionale ovunque pari a +1 ed è quindi un esempio di varietà ellittica.
[modifica] Gruppo fondamentale
Il gruppo fondamentale di L(p,q) è isomorfo al gruppo ciclico 
.
[modifica] Dipendenza dai parametri
Gli spazi L(p,q) e L(p',q'):
- hanno lo stesso gruppo fondamentale se e solo se p = p';
- sono isometrici se e solo se sono omeomorfi, e questo accade se e solo se p = p' e
- sono omotopicamente equivalenti se e solo se p = p' e
Per quanto scritto, solitamente si suppone p > q > 0.
Tra gli spazi lenticolari vi sono quindi esempi di 3-varietà con lo stesso gruppo fondamentale ma non omotopicamente equivalenti, ad esempio
e varietà omotopicamente equivalenti ma non omeomorfe, ad esempio
Per p = 2 si ottiene soltanto la varietà L(2,1); in questo caso la funzione f è la mappa antipodale e quindi il quoziente L(2,1) è lo spazio proiettivo reale
[modifica] Geometrizzazione
Uno spazio lenticolare è sempre una 3-varietà irriducibile e prima.
Per la congettura di geometrizzazione di Thurston, dimostrata da Grigori Perelman, una 3-varietà compatta avente gruppo fondamentale ciclico finito è necessariamente uno spazio lenticolare.
[modifica] Voci correlate
Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che parlano di matematica
