Radice dell'unità

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Le radici $n$ -esime dell'unità sono tutti i numeri (reali o complessi) la cui $n$ -esima potenza è pari a 1, ovvero le soluzioni dell'equazione:

$x^n \,=\, 1.$

Indice

1 Le radici
2 Radici di un numero complesso qualsiasi
3 Alcune radici di 1
4 Voci correlate

[modifica] Le radici

Nel campo complesso $\Bbb{C}$ per ogni intero positivo $n$ esistono esattamente $n$ radici $n$ -esime dell'unità e sono nella forma

Radici terze dell'unità, disposte ai vertici di un triangolo

$r_k = \cos \frac{2\pi k}{n} + i \sin \frac{2\pi k}{n} = e^{2\pi ik/n}\;$

dove l'ultima uguaglianza viene dalla formula di Eulero, con $k$ intero, $0\le k \le n-1$ .

Esse si dispongono nel piano complesso lungo la circonferenza unitaria, ai vertici di un poligono regolare con $n$ lati che ha un vertice in $(1,0)$ .

Tra queste radici le uniche reali sono $r 0 = 1$ e, se $n = 2 k$ (cioè è pari) $r k = - 1$ .

Per ogni n l'insieme delle radici $n$ -esime dell'unità, con l'operazione data dalla moltiplicazione usuale sui complessi, forma un gruppo ciclico.

Si dicono radici primitive $n$ -esime dell'unità tutte quelle radici che generano il gruppo delle radici $n$ -esime dell'unità. È facile provare che le radici primitive $n$ -esime dell'unità sono quelle radici $n$ -esime dell'unità tali che:

$\forall m<n ~:~ x^m\ne 1 \ \$ .

Il numero di radici primitive ennesime dell'unità è pari al numero $φ(n)$ di interi minori di $n$ e coprimi con $n$ . Qui $φ$ è la funzione di Eulero.

[modifica] Radici di un numero complesso qualsiasi

Se si devono calcolare le radici n-esime di un numero complesso z, può essere conveniente ricondurlo alla forma polare $\,|z|e^{i\phi}\,$ , individuare una delle radici n-esime del fattore di fase di z (numero di modulo 1) $\,e^{i\phi}\,$ , ad esempio la $f_0 \,=\, \cos \frac{\phi}{n} + i \sin \frac{\phi}{n} \;$ ; a questo punto si dispone di una radice di z, la $\sqrt[n]|z|$ ; tutte le altre si ottengono moltiplicando la precedente per le radici n-esime dell'unità. In definitiva,

$\sqrt[n]z= \sqrt[n]|z| \left( \cos \left( \frac{\phi}{n}+ \frac{2\pi k}{n} \right) + i \sin \left( \frac{\phi}{n} + \frac{2\pi k}{n} \right) \; \right), k=0,1,\dots,n-1$ .

Ad esempio si debbano calcolare le radici quarte di un numero reale positivo a: dopo aver calcolato mediante l'algoritmo della radice quadrata la radice quarta positiva $\sqrt[4]a$ , si moltiplica tale numero per le radici quarte dell'unità, che sono evidentemente 1, i, -1 e -i.