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单位根 - Wikipedia

单位根

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数学上，單位的n次根是n次冪為1的複數。它們位於複平面的单位圆上，構成正n邊形的頂點，其中一個頂點是1。

目录

[编辑] 定义

z^n = 1 \qquad (n = 1, 2, 3, \cdots )

这方程的複數根z為單位的n次根。

單位的n次根有n個：

e^{2 \pi i k/n} \qquad (k = 0, 1, 2, \cdots, n - 1)。

[编辑] 本原根

單位的n次根以乘法構成n階循環群。它的生成元是單位的n次本原根。單位的n次本原根是e2πik / n，其中k和n互質。單位的n次本原根數目為歐拉函數\varphi (n)。

[编辑] 例子

單位的一次根有一個：1。

單位的二次根有兩個：+1和-1，只有-1是本原根。

單位的三次根是

\left\{ 1, \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{-1 - i \sqrt{3}}{2} \right\} ,

其中i複數單位；除1外都是本根根。

單位的四次根是

\left\{ 1, +i, -1, -i \right\} ,

其中 + i和 − i是本原根。

[编辑] 和式

當n不小於2，單位的n次根總和為0。這一結果可以用不同的方法證明。一個基本方法是等比級數：

\sum_{k=0}^{n-1} e^{2 \pi i k/n} = \frac{e^{2 \pi i n/n} - 1}{e^{2 \pi i/n} - 1} = \frac{1-1}{e^{2 \pi i/n} - 1} = 0。

另一個證法是它們在複平面上構成正多邊形的頂點，而從對稱性知這多邊形的重心在原點。


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