3-varietà irriducibile
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In geometria, e più precisamente nella topologia della dimensione bassa, una 3-varietà irriducibile è una 3-varietà in cui ogni sfera borda una palla. Una 3-varietà che contiene una sfera non bordante una palla è invece detta riducibile: questa può essere effettivamente "ridotta" ad una varietà più semplice tramite l'operazione inversa della somma connessa.
Una 3-varietà è prima se non è ottenuta come somma connessa non banale di due varietà. I concetti di irriducibile e prima sono equivalenti per tutte le 3-varietà, con due sole eccezioni. L'ipotesi di irriducibilità è però più facile da esprimere e da gestire in molti casi, ed è quindi quella usata più spesso.
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[modifica] Definizioni
[modifica] Varietà irriducibile
Una 3-varietà è irriducibile se ogni sfera liscia borda una palla. Più rigorosamente, una 3-varietà differenziabile connessa M è irriducibile se ogni sottovarietà differenziabile S omeomorfa ad una sfera è bordo 
di un sottoinsieme D omeomorfo alla palla chiusa
L'ipotesi di differenziabilità per M non è importante, perché ogni 3-varietà topologica ha un'unica struttura differenziabile. L'ipotesi che la sfera sia liscia (cioè che sia una sottovarietà differenziabile) è invece importante: la sfera deve avere infatti un intorno tubolare.
Una 3-varietà non irriducibile è riducibile.
[modifica] Varietà prima
Una 3-varietà connessa M è prima se non è ottenibile come somma connessa
di due varietà entrambe distinte da S3 (o, analogamente, entrambe distinte da M).
[modifica] Esempi
[modifica] Spazio euclideo
Lo spazio euclideo tridimensionale 
è irriducibile: ogni sfera liscia nello spazio borda effettivamente una palla.
D'altra parte, la sfera di Alexander è una sfera in non liscia, che non borda una palla: l'ipotesi sulla liscezza della sfera è quindi necessaria.
[modifica] Sfera, spazi lenticolari
La sfera S3 è irriducibile. Lo spazio prodotto 
non è irriducibile: infatti la sfera 
(dove 'pt' è un qualsiasi punto di S1) ha complementare connesso, e quindi non può essere bordo di una palla.
Uno spazio lenticolare L(p,q) con 
(distinto quindi da ) è irriducibile.
[modifica] Varietà prime e irriducibili
Una 3-varietà è irriducibile se e solo se è prima, tranne in due casi: il prodotto ed il fibrato non orientabile di sfere su S1 sono entrambe prime ma non irriducibili.
[modifica] Da irriducibile a prima
Una varietà irriducibile M è effettivamente prima. Infatti, se
la M è ottenuta rimuovendo due palle da N1 e N2, e quindi incollando le due sfere di bordo risultanti. Queste due sfere incollate formano una sfera S in M. Per ipotesi, deve bordare una palla. Ripercorrendo l'operazione di somma connessa a ritroso, N1 oppure N2 è ottenuta incollando due palle chiusa per il bordo. Questa operazione porta però soltanto ad S3: quindi uno dei due fattori è in realtà banale, e la varietà M è prima.
[modifica] Da prima a irriducibile
Sia M una varietà prima. Sia S una sfera in essa contenuta. Tagliando lungo S si può ottenere una sola varietà N oppure due varietà M1 e M2. Nel secondo caso, incollando due palle chiuse nei due nuovi bordi sferici si ottengono due varietà N1 e N2 tali che
Poiché M è prima, una delle due, ad esempio N1, è S3. Quindi M1 è S3 meno una palla: è quindi anch'esso una palla. La sfera S quindi borda una palla: la varietà M è quindi irriducibile.
Resta da considerare il caso in cui tagliando lungo S si ottiene un pezzo solo N. Esiste quindi una curva semplice chiusa γ in M intersecante S in un punto solo. Sia R l'unione di due intorni tubolari di S e γ. Il bordo 
risulta essere una sfera: questa deve bordare una palla. La varietà risultante è quindi pressoché determinata, ed una analisi attenta porta a verificare che si tratta di oppure dell'altro fibrato non orientabile.
[modifica] Bibliografia
- William Jaco. Lectures on 3-manifold topology. ISBN 0-8218-1693-4
[modifica] Voci correlate
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