Serie di Dirichlet

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In matematica, una serie di Dirichlet è una qualunque serie nella forma

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s},$

dove s ed a_n, n = 1, 2, 3, ... sono numeri complessi.

La serie di Dirichlet riveste importanti ruoli nella teoria dei numeri analitica. La definizione della funzione zeta di Riemann più comune è una serie di Dirichlet, così come le funzioni L di Dirichlet. Si è ipotizzato che la classe di Selberg della serie segua l'ipotesi generalizzata di Riemann. La serie è così chiamata in onore di Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet.

Indice

1 Esempi
2 Proprietà analitiche della serie di Dirichlet: ascissa di convergenza
3 Derivate
4 Prodotti
5 Trasformate integrali
6 Voci correlate
7 Bibliografia
8 Collegamenti esterni

[modifica] Esempi

Le più nota fra le serie di Dirichlet è

$\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s},$

che è la funzione zeta di Riemann. Un'altra è:

$\frac{1}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n^s}$

dove μ(n) è la funzione di Möbius. Questa e molte altre delle serie seguenti possono essere ricavate applicando la formula di inversione di Möbius e la convoluzione di Dirichlet alle serie note. Ad esempio, dato un carattere di Dirichlet $\scriptstyle\chi(n)$ si ha

$\frac{1}{L(\chi,s)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)\chi(n)}{n^s}$

dove $L (χ, s)$ è una funzione L di Dirichlet.

Altre identità includono

$\frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varphi(n)}{n^s}$

dove φ(n) è la funzione di Eulero, e

$\zeta(s) \zeta(s-a)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_{a}(n)}{n^s}$

$\frac{\zeta(s)\zeta(s-a)\zeta(s-b)\zeta(s-a-b)}{\zeta(2s-a-b)} =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_a(n)\sigma_b(n)}{n^s}$

dove σ_a(n) è la funzione divisore. Altre identità che coinvolgono la funzione divisore d=σ₀ sono

$\frac{\zeta^3(s)}{\zeta(2s)}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{d(n^2)}{n^s}$

$\frac{\zeta^4(s)}{\zeta(2s)}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{d(n)^2}{n^s}.$

Il logaritmo della funzione zeta è dato da

$\log \zeta(s)=\sum_{n=2}^\infty \frac{\Lambda(n)}{\log(n)}\,\frac{1}{n^s}$

per Re(s) > 1. Qui, $\scriptstyle \Lambda(n)$ è la funzione di von Mangoldt. Quindi la derivata logaritmica è

$\frac {\zeta^\prime(s)}{\zeta(s)} = -\sum_{n=1}^\infty \frac{\Lambda(n)}{n^s}.$

Queste ultime due sono casi particolari di una relazione più generale per le derivate della serie di Dirichlet, riportata di seguito.

Sia $\scriptstyle\lambda(n)$ la funzione di Liouville, si ha

$\frac {\zeta(2s)}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\lambda(n)}{n^s}.$

Un ulteriore esempio coinvolge la somma di Ramanujan:

$\frac{\sigma_{1-s}(m)}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{c_n(m)}{n^s}.$

[modifica] Proprietà analitiche della serie di Dirichlet: ascissa di convergenza

Data una sequenza {a_n}_{n ∈ N} di numeri complessi si consideri il valore di

$f(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^s}$

come funzione della variabile complessa s. Per far sì che ciò abbia senso, è necessario considerare le proprietà di convergenza della serie infinita di cui sopra:

Se {a_n}_{n ∈ N} è una sequenza limitata di numeri complessi, allora la serie di Dirichlet corrispondente f converge assolutamente sul semipiano aperto di s tale che Re(s) > 1. In generale, se a_n = O(n^k), la serie converge assolutamente nel semipiano Re(s) > k + 1.

Se il set di somme a_n + a_{n + 1} + ... + a_{n + k} è limitato per n e k ≥ 0, allora la serie infinita di cui sopra converge nel semipiano aperto di s tanele che Re(s) > 0.

In entrambi i casi f è una funzione analitica sul rispettivo semipiano aperto.

In generale, l'ascissa di convergenza di una serie di Dirichlet è l'intercetta sull'asse reale della linea verticale sul piano complesso, tale da avere convergenza a destra di essa, e divergenza alla sua sinistra. Questo concetto è analogo a quello di raggio di convergenza per le serie di potenze. Il caso della serie di Dirichlet è tuttavia più complicato, sebbene convergenza assoluta e convergenza uniforme possono verificarsi nei distinti semipiani.

In molti casi, la funzione analitica associata ad una serie di Dirichlet ha un'estensione analitica su un dominio più ampio.

[modifica] Derivate

Dato

$F(s) =\sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{n^s}$

per una funzione moltiplicativa ƒ(n), e assumendo che la serie converga per Re(s) > σ₀, allora si ha che

$\frac {F^\prime(s)}{F(s)} = - \sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)\Lambda(n)}{n^s}$

converge per Re(s) > σ₀. Qui, $\scriptstyle\Lambda(n)$ è la funzione di von Mangoldt.

[modifica] Prodotti

Si supponga

$F(s)= \sum_{n=1}^{\infty} f(n)n^{-s}$

$G(s)= \sum_{n=1}^{\infty} g(n)n^{-s}.$

Se sia F(s) che G(s) sono assolutamente convergenti per s > a e s > b allora si ha

$\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}\,dtF(a+it)G(b-it)\,dt= \sum_{n=1}^{\infty} f(n)g(n)n^{-a-b} \text{ per }T \sim \infty.$

Se a = b e ƒ(n) = g(n) si ha

$\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}dt|F(a+it)|^{2} dt= \sum_{n=1}^{\infty} [f(n)]^{2}n^{-2a} \text{ per } T \sim \infty.$

[modifica] Trasformate integrali

La trasformata di Mellin di una serie di Dirichlet è data dalla formula di Perron.

[modifica] Voci correlate

Regolarizzazione della funzione Zeta

[modifica] Bibliografia

Tom Apostol, Introduction to analytic number theory, Springer-Verlag, New York, 1976.
G. H. Hardy, and Marcel Riesz, The general theory of Dirichlet's series, Cambridge Tracts in Mathematics, No. 18 (Cambridge University Press, 1915).

[modifica] Collegamenti esterni

(EN) The general theory of Dirichlet's series by G. H. Hardy. Cornell University Library Historical Math Monographs. {Reprinted by} Cornell University Library Digital Collections

(EN) Dirichlet series su PlanetMath

Categoria: Serie matematiche

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[modifica] Esempi

[modifica] Proprietà analitiche della serie di Dirichlet: ascissa di convergenza

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