Formula di inversione di Möbius

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La formula di inversione di Möbius fu introdotta nella teoria dei numeri da August Ferdinand Möbius nel XIX secolo.

Esistono due formule di inversione di Möbius.

Indice 1 Prima formula di inversione di Mobius 2 Dimostrazione 3 Seconda formula di inversione di Mobius 4 Bibliografia

[modifica] Prima formula di inversione di Mobius

Se g e f sono funzioni aritmetiche allora :

f = g * μ

(dove * è la convoluzione di Dirichlet e μ è la funzione di Mobius), se e solo se:

g = f * N₀

[modifica] Dimostrazione

Per dimostrazione è necessario il seguente lemma :

il secondo membro si ottiene direttamente dalla definizione di N e di * mentre il terzo membro si ricava facilmente dal fatto che alla sommatoria contribuiscono solo i divisori di n privi di quadrati, se n ha m fattori primi distinti il contributo alla sommatoria da parte dei divisori di n privi di quadrati con j fattori primi distinti è:

quindi:

detto ciò consideriamo che se_

f = g * μ

allora applicando * N₀ a entrambi i membri e ricordando la proprietà associativa di * si ottiene:

f * N₀ = g

che è la tesi. Nell'ultimo passaggio si applica il lemma all'inizio della dimostrazione e la definizione di *.

[modifica] Seconda formula di inversione di Mobius

Sia h una funzione aritmetica moltiplicativa; allora:

se e solo se:

dove è l'inversa di .

[modifica] Bibliografia

• Tom M. Apostol (1976): Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9, (Chapter 2.7)