Onda (fisica)

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Un'onda è una perturbazione che si propaga attraverso lo spazio trasportando energia e non materia. Ad eccezione della radiazione elettromagnetica, ed a livello teorico della radiazione gravitazionale, che possono propagarsi nel vuoto, le onde esistono in un mezzo (che per deformazione è in grado di produrre forze elastiche di ritorno). Attraverso di esso esse possono viaggiare e trasferire energia da un punto all'altro, senza che alcuna particella del mezzo venga dislocata permanentemente: non esiste, quindi, un trasporto di massa associato, ogni punto oscilla attorno a una posizione fissa.

Indice

1 Mezzi di propagazione
2 Tipologia di onda
3 Proprietà delle onde
4 Onde armoniche
5 L'equazione d'onda
- 5.1 Equazione delle onde sinusoidali
6 Voci correlate
7 Altri progetti
8 Collegamenti esterni

[modifica] Mezzi di propagazione

Il mezzo in cui le onde viaggiano può essere classificato a seconda delle seguenti proprieta':

Mezzo lineare se onde differenti possono essere sommate in un certo punto
Mezzo limitato se ha una estensione finita (altrimenti viene chiamato illimitato)
Mezzo omogeneo se le proprietà fisiche del mezzo in un suo punto qualsiasi non cambiano a seguito di una traslazione (spostamente rettilineo) da quel punto
Mezzo isotropo se le proprietà fisiche del mezzo in un suo punto qualsiasi non cambiano a seguito di una rotazione da quel punto. Affermare che un mezzo è isotropo equivale a dire che "è lo stesso" in tutte le direzioni (altrimenti viene chiamato anisotropo)

[modifica] Tipologia di onda

A seconda delle caratteristiche le onde si possono classificare in molti modi.

Riguardo alla propagazione si hanno:

onde piane
onde sferiche
onde cilindriche

Riguardo alle dimensioni del mezzo in cui si propagano:

Onde unidimensionali o lineari
Onde bidimensionali
Onde tridimensionali

Riguardo alla loro direzione vettoriale di propagazione cioè alla loro polarizzazione:

Onde longitudinali
Onde trasversali

A seconda del mezzo in cui si propaga e della caratteristica fisica che usiamo per rappresentarla:

onde elastiche o di spostamento, in cui poniamo l'attenzione sullo spostamento vettoriale;

"onda di velocità", se poniamo l'attenzione sulla velocità delle particelle;
"onda di densità", se studiamo la densità volumica e per questo ne è associata un' "onda di pressione".
radiazione elettromagnetica che riguarda un insieme di onde come luce, onde radio, raggi X nel cui caso la propagazione non ha bisogno di un mezzo, le onde posso propagarsi ne vuoto;

Alcune onde caratteristiche sono:

suono - una onda meccanica che si propaga attraverso gas (in genere aria), liquidi o solidi, la cui frequenza può essere percepita dall'apparato uditivo. Dello stesso tipo sono le onde sismiche create dai terremoti che possono essere di tipo S, P o L.
onde oceaniche di superficie sono perturbazioni che si propagano nell'acqua (vedi anche surf e tsunami).
onde gravitazionali sono fluttazioni del campo gravitazionale. La loro esistenza è stata prevista dalla Relatività generale. Queste onde sono non lineari.

[modifica] Proprietà delle onde

Tutte le onde hanno un comportamento comune in situazioni standard. Tutte le onde possiedono le seguenti proprietà:

Riflessione quando una onda cambia direzione a causa di uno scontro con un materiale riflettente.
Rifrazione il cambio di direzione di un'onda causata dal cambio del mezzo di propagazione (ad esempio di densità diversa).
Diffrazione la diffusione delle onde, per esempio quando passano per una fessura stretta
Interferenza la somma vettoriale (possono annullarsi) di due onde che entrano in contatto
Dispersione la divisione di un onda in sotto onde in dipendenza della loro frequenza.

[modifica] Onde armoniche

Descrizione dell'onda

Le onde devono per le loro caratteristiche essere funzione delle coordinate spaziali e del tempo. Sappiamo dall'analisi armonica che una funzione periodica può essere decomposta in termini di componenti armoniche e questo ci permette di rappresentare le onde come onde periodiche. Da notare che nel caso la perturbazione iniziale sia impulsiva o comunque non periodica, l'analisi ci permette ancora di rappresentarla attraverso una funzione periodica. In questo caso la caratteristica comune è la periodicità identificata dal periodo T, che rappresenta il tempo necessario affinché un ciclo completo di oscillazione venga completato. Esso è strettamente legato alla frequenza $ν$ è il numero di periodi per unità di tempo; se quest'unità è il Secondo allora la frequenza si misura in hertz. Queste grandezze sono correlate nel modo seguente:

$\nu = \frac{1}{T}$ .

Ad un periodo temporale corrisponde un periodo spaziale detto lunghezza d'onda $λ$ .

Quindi un'onda può essere rappresentata attraverso una funzione che dipende dalle coordinate spaziali e dal tempo:

$f(\vec r \pm \vec v t)$

Se usiamo la rappresentazione in serie di Fourier allora:

$f(\xi) = f(\vec r \pm \vec v t) = \vec A \sin ( \vec k \vec r + \omega t + \phi)$

In questa rappresentazione $\vec k$ è il vettore d'onda che identifica vettorialmente la direzione di propagazione dell'onda in luogo della v velocità di propagazione. Il suo modulo è chiamato pulsazione spaziale ed è legato alla lunghezza d'onda:

$k = \frac {2 \pi}{\lambda}$ .

Il vettore $\vec A$ è l'"ampiezza" dell'onda e rappresenta il massimo valore della grandezza rappresentativa dell'onda in un periodo. Esso può essere costante allora l'onda si propaga in maniera costante nel mezzo oppure può essere variabile in tal caso l'onda si attenua o si amplifica. All'istante iniziale la funzione assume un valore iniziale che può essere diverso da zero, in tal caso $φ$ rappresenta la fase iniziale. Un'onda viene spesso descritta per mezzo della sua "frequenza angolare" (ω, radianti/secondo); quest'ultima è correlata alla frequenza $ν$ secondo questa formula:

$\omega = \frac{2\pi}{T} = 2 \pi \nu$ .

[modifica] L'equazione d'onda

Non tutte le onde sono sinusoidali (ovvero hanno la forma della funzione seno). Un esempio di onda non sinusoidale è l'impulso che si muove lungo una corda poggiata per terra. Nel caso generale ogni funzione di x, y, z, e t che sia una soluzione non banale della funzione d'onda è un'onda. La funzione d'onda è una equazione differenziale che descrive una onda armonica che attraversa un certo mezzo. L'equazione ha forme diverse dipendenti da come l'onda è trasmessa e in quale mezzo. Una equazione d'onda non lineare può provocare un trasporto di massa.

In una dimensione la formula d'onda ha la forma:

$\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}=\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}$

La soluzione generale nel caso delle onde luminose, conosciuta grazie a d'Alembert e':

$\ \phi(x,t)=F(x-ct)+E(x+ct)$

L'equazione di Schrödinger descrive il comportamento ondulatorio delle particelle nella meccanica quantistica. Le soluzioni di questa equazione sono delle funzioni d'onda che possono essere usate per descrivere la densità di probabilità di una particella.

[modifica] Equazione delle onde sinusoidali

L'equazione delle onde sinusoidali (o armoniche, o periodiche), meccaniche in questo caso, è una soluzione particolare dell'equazione generale delle onde ed è quella che di solito si studia ai livelli intermedi di istruzione.

L'onda è una funzione di spazio e tempo, nel descriverla entrano in gioco la posizione orizzontale x dell'impulso ed il tempo a cui si effettua l'osservazione: l'oscillazione y delle particelle attorno alla posizione di equilibrio viene fatta nei termini di questi elementi. $y = f (x, t)$ . I punti di vista sono quindi due:

scegliendo di valutare la dimensione temporale (x fissato), esprimeremo l'oscillazione y in dipendenza dal tempo t. $y = f (t)$ .
scegliendo invece di focalizzare l'attenzione sullo stato di un mezzo perturbato in un certo istante ( $t$ fissato) abbiamo l'istantanea dell'onda, appunto, cioè la $f o r m a d' o n d a$ ...il suo profilo al tempo fissato di osservazione: l'oscillazione y è espressa in funzione della posizione x. $y = f (x)$ .

In entrambi i casi si può partire dalla dipendenza co-sinusoidale delle variabili nel moto armonico, ricavate considerando quest'ultimo come una opportuna proiezione di un moto circolare uniforme:

$y = A c o s (ω t + φ)$

dove A è l'ampiezza dell'oscillazione, e $φ$ è la fase iniziale: attribuendo a $φ$ un valore di 90 gradi si può passare da una forma in coseno ad una in seno, quindi le espressioni sono equivalenti. L'espressione è in y per attuare la "visualizzazione" dell'oscillazione lungo l'asse verticale del sistema coordinato.

Nel primo caso dell'elenco, esprimiamo:

$y=A\cos(\omega t+\phi) = A\cos(\frac{2\pi}{\tau}t)$ (1)

( $τ$ è il periodo dell'onda, si è applicata la definizione di velocità angolare del moto circolare; la fase iniziale è nulla); se la perturbazione sul mezzo si propaga dall'inizio muovendosi con velocità di fase $v$ , allora essa raggiungerà un altro punto (a destra dell'origine) ad una certa distanza $x$ dopo un tempo:

$t1 = \frac{x}{v}$

Ciò significa che il punto alla coordinata $x$ avrà, al tempo t, uno spostamento verticale uguale a quello che aveva il punto iniziale t1 secondi prima! La propagazione è quindi descritta dall'espressione:

$y=A\cos[\frac{2\pi}{\tau}(t-t1)]=A\cos[\frac{2\pi}{\tau}(t-\frac{x}{v})]$

...bisogna rifletterci un po' per accettarlo, al primo impatto suona poco comprensibile! Raccogliendo $2π$ si può passare ad una forma più comune che talvolta si trova sui testi:

$y=A\cos[2\pi(\frac{t}{\tau}-\frac{x}{\lambda})]$

Se chiamiamo numero di onda k la quantità $\frac{2\pi}{\lambda}$ , e pulsazione $ω$ (in pratica una velocità angolare) il rapporto già noto dallo studio del moto circolare $\frac{2\pi}{\tau}$ perveniamo infine formalmente all'equazione delle onde armoniche:

$y = A cos(ω t - k x)$

Se all'espressione in coseno iniziale, la (1), si fosse aggiunta una fase di 90 si sarebbe ottenuta un'espressione in seno negativo in virtù di: $cos(α + 90) = sin( - α)$ ; questo avrebbe portato, seguendo il medesimo procedimento, a un'espressione sinusoidale con i segni interni invertiti ( $y = A sin(k x - ω t)$ ) che talvolta viene presentata sui testi.

Considerando il secondo caso dell'elenco sopra, questa volta partiamo da una istantanea dell'onda al tempo fissato, cioè da una forma d'onda; volendo fare tutti i passaggi:

$y=A\cos(\omega t+\phi)=A\cos(\frac{2\pi}{\tau}t)=A\cos(\frac{2\pi}{\lambda}x)$ (2)

Abbiamo espresso il tempo come $t = x / v$ , sostituendo ed usando la relazione fondamentale delle onde $λ = v τ$ (la lunghezza d'onda è lo spazio percorso da un'onda con velocità di fase v in un periodo $τ$ ): in ogni caso, quel che conta è che si ottiene una cosinusoide di periodo spaziale $λ$ dipendente solo dalla posizione x. A questo punto, possiamo fare un ragionamento analogo a quello precedente: se l'impulso si sta muovendo lungo l'asse delle ascisse, inducendo una oscillazione sulle ordinate, ad un certo istante successivo a quello fissato il punto alla certa coordinata x avrà una elevazione uguale a quella del punto x0 da cui l'impulso è partito t secondi prima; l'onda si propaga quindi (verso destra) con un profilo dato da:

$y=A\cos(\frac{2\pi}{\lambda}(x-vt))$

mentre avremmo dovuto considerare una espressione in parentesi tonda del tipo (x+vt) se avessimo voluto la propagazione verso sinistra. Si introduce nuovamente la dipendenza dal tempo. Se può aiutare a visualizzarlo meglio, si consideri $x = x 0 + v t$ con x0 nell'origine degli assi ed x alla sua destra: se inizialmente y=f(x0) ricordando l'elenco sopra (descriviamo l'oscillazione solo in dipendenza dall'ordinata se fissiamo il tempo), allora dopo t secondi di propagazione dell'impulso, dato che l'elevazione verticale è uguale, si avrà y=f(x-vt).

In ogni caso, esprimendo $\mathit{v=\frac{\lambda}{\tau}}$ e sostituendo, si ha l'espressione:

$y=A\cos[2\pi(\frac{x}{\lambda}-\frac{t}{\tau})]$

che considerando la relazione goniometrica $cos( - α) = cos(α)$ è analoga a quella ottenuta in precedenza (perché si cambiano i segni dell'argomento). Anche qui, l'intero ragionamento si poteva fare in seno sfasando la (2) di -90 gradi dato che: $cos(α - 90) = sin(α)$ : analogmente all'osservazione di cui sopra, così facendo si sarebbe arrivati a: $y = A sin(k x - ω t)$ .