Legge di Stefan-Boltzmann

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La legge di Stefan-Boltzmann, chiamata a volte legge di Boltzmann o anche legge di Stefan, stabilisce che l'energia (per secondo) irradiata da un corpo nero è proporzionale alla quarta potenza della sua temperatura:

$U = \sigma \cdot T^4$

dove U è l'energia irradiata dall'unità di superficie nell'unità di tempo, T la temperatura assoluta espressa in kelvin e σ è la costante di Stefan-Boltzmann che vale:

$\sigma = 5,67 \cdot 10^{-8} ~ W m^{-2} K^{-4}$

La legge, in questo enunciato, è valida solo per corpi neri ideali.

La legge fu scoperta sperimentalmente da Jožef Stefan (1835-1893) nel 1879 e spiegata teoricamente, usando la termodinamica, da Ludwig Boltzmann (1844-1906) nel 1884.

[modifica] Derivazione della legge

Ogni corpo a una qualsiasi temperatura emette della radiazione elettromagnetica, la quantità e la qualità di radiazione emessa dipende dalla temperatura a cui si trova il corpo e secondariamente dalle caratteristiche del corpo stesso:

$U = \int_{0}^{\infty} I(\nu) ~ d \nu = \sigma T^4$

dove λ è la lunghezza d'onda della radiazione luminosa, h è la costante di Planck, T è la temperatura, $I (ν) d ν$ è la densità di energia della radiazione eletromagnetica compresa tra $ν$ e $ν + d ν$ . Quest'ultima distribuzione dell'energia in funzione delle frequenze non era stata ancora scoperta, solo successivamente Rayleigh e Jeans e più tardi Planck la dedussero quantitativamente.

Un secondo modo, che non predice però il valore di σ, parte da considerazioni di natura termodinamica. Sono note le relazioni:

$u = \frac 4 c U$ e $P = \frac 1 3 u$

dove $\; u$ è la densità di energia, $\; c$ la velocità della luce, $\; U$ il flusso di energia per irraggiamento e $\; P$ la pressione esercitata nel lavoro da irraggiamento. Quindi dalla relazione fondamentale dell'energia interna si ha, integrando sul volume a temperatura costante:

$~{\rm d}U = T~{\rm d}S - P~{\rm d}V$

$\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T = T\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T - P\left(\frac{\partial V}{\partial V}\right)_T$

per le relazioni di Maxwell ciò equivale a:

$\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T = T\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V - P$

$u = \frac 1 3 T \frac{\partial u}{\partial T} - \frac 1 3 u$

dove nell'ultima equazione si sono sostituite le relazione note all'inizio. Integrando l'equazione differenziale si ottiene che:

$u = {\rm b}~T^4~$ cioè $U = \sigma~ T^4$

essendo b la costante d'integrazione, incorporata a quattro volte l'inverso di c nel valore di sigma, ricavato poi sperimentalmente.

[modifica] Corpo nero non ideale

Ovviamente il "corpo nero" è un idealizzazione e i corpi, anche i più neri, non lo sono mai completamente. Per essere più precisi in fisica per corpo nero si intende un corpo che assorbe tutta la radiazione elettromagnetica incidente, un corpo di un certo colore lo è perché riflette parte della luce che lo colpisce. I corpi bianchi invece riflettono buona parte della radiazione che li colpisce ma ne assorbono sempre una parte. Le caratteristiche di un corpo in emissione sono strettamente correlate con le caratteristiche in assorbimento per cui un corpo nero, assorbitore ideale, è anche a sua volta un emettitore ideale. Per rendere conto della realtà nella legge di Stefan-Boltzmann si usa motiplicare la costante σ per l'emissività ε che dipende dalla superficie del corpo preso in considerazione oltre che dalla sua temperatura ed è compresa fra 0 (per i corpi idealmente bianchi) e 1 (per i corpi idealmente neri). Per cui per i corpi reali si ha:

$\operatorname E =\epsilon \sigma T^4$