Relazioni di Maxwell

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Le relazioni di Maxwell sono un insieme di equazioni della termodinamica che sono derivabili dalle definizioni dei quattro potenziali termodinamici. Coinvolgono le seguenti quantità:

V è il volume
T è la temperatura
P è la pressione
S è l'entropia

Per un sistema monocomponente, sono:

$\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_S = -\left(\frac{\partial P}{\partial S}\right)_V$

$\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_S = +\left(\frac{\partial V}{\partial S}\right)_P$

$\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T = +\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V$

$\left(\frac{\partial S}{\partial P}\right)_T = -\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P$

Ogni equazione può essere riformulata usando:

$\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)_z = 1\left/\left(\frac{\partial x}{\partial y}\right)_z\right.$

che sono in genere note come relazioni di Maxwell.

[modifica] Derivazione delle relazioni di Maxwell

Dalla teoria dei potenziali termodinamici, è noto che le seguenti relazioni sono vere per un fluido isotropo con un numero costante di particelle:

$+T=\left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_V =\left(\frac{\partial H}{\partial S}\right)_P$

$-P=\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_S =\left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_T$

$+V=\left(\frac{\partial H}{\partial P}\right)_S =\left(\frac{\partial G}{\partial P}\right)_T$

$-S=\left(\frac{\partial G}{\partial T}\right)_P =\left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)_V$

Per un potenziale $\Phi(x,y)\,\!$ possiamo definire

$A=\left(\frac{\partial \Phi}{\partial x}\right)_y$

$B=\left(\frac{\partial \Phi}{\partial y}\right)_x$

Ora, usando il teorema di Schwarz otteniamo:

$\left(\frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{\partial \Phi}{\partial x}\right)_y \right)_x = \left(\frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{\partial \Phi}{\partial y}\right)_x \right)_y$