Hermann Günther Grassmann

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Hermann Günther Grassmann (Stettino, 15 aprile 1809 – 26 settembre 1877) è stato un matematico tedesco. Riconosciuto ai suoi tempi come linguista, ora è stimato come matematico. Fu anche fisico, neoumanista, studioso completo ed editore.

Indice 1 Biografia 2 Matematica 3 Colorimetria 4 Linguistica 5 Voci correlate 6 Bibliografia 7 Collegamenti esterni

[modifica] Biografia

Il padre di Hermann Grassmann era Justus Günther Grassmann e sua madre era Johanne Luise Friederike Medenwald, figlia di un ministro del culto di Klein-Schönfeld. Justus era stato consacrato ministro del culto ma aveva ottenuto, presso il liceo di Stettino, il posto di insegnante di matematica e fisica. Fu un acuto accademico, scrisse diversi libri scolastici sulla fisica e sulla matematica e inoltre iniziò una ricerca sulla cristallografia. Johanne e Justus hanno avuto dodici bambini ed Hermann era il terzo. Anche il fratello di Hermann, Robert, è diventato un matematico e i due hanno lavorato insieme in molti progetti.

Quando Hermann era giovane, fu sua madre ad istruirlo, essendo una donna di vasta cultura. Poi frequentò una scuola privata, prima di entrare al liceo di Stettino, dove insegnava suo padre. La maggior parte dei matematici di solito fa una buona impressione ai propri insegnanti già in tenera età, ma sorprendentemente, pur avendo eccellenti opportunità di istruzione appartenendo ad una famiglia incline all’educazione, Hermann non ha eccelso nei primissimi anni di liceo. Suo padre pensava che Hermann dovesse puntare ad un lavoro manuale come il giardiniere o l’artigiano. A Hermann piaceva la musica e imparò a suonare il piano. Man mano che proseguiva la scuola, lentamente migliorò e nel momento in cui sostenne gli ultimi esami di scuola secondaria, a 18 anni, si classificò secondo nella scuola. Essendosi dimostrato alla fine un allievo molto competente, Hermann decise di studiare teologia e nel 1827 andò a Berlino con suo fratello maggiore per studiare presso l’Università di Berlino. Frequentò i corsi di teologia, lingue classiche, filosofia e letteratura mentre non sembra che abbia frequentato alcun corso di matematica o fisica.

Sebbene sembra che Hermann non abbia avuto alcuna istruzione universitaria formale in matematica, era questa la materia che lo interessava al suo ritorno a Stettino nell’autunno del 1830, dopo aver completato i suoi studi universitari a Berlino. Chiaramente, l’influenza di suo padre fu importante nell’avviarlo in quella direzione, e decise che sarebbe diventato un insegnante di matematica, ma era anche determinato a intraprendere ricerche matematiche per conto proprio. Dopo un anno, trascorso a svolgere ricerche matematiche e a prepararsi per presentarsi all’esame per insegnare al liceo, Hermann andò a Berlino nel dicembre del 1831, per sostenere gli esami necessari. Si ritiene che le sue prove scritte non abbiano avuto una buona valutazione, dal momento che i suoi esaminatori gli diedero la licenza di insegnare solo ai livelli più bassi del liceo. Gli fu detto che, prima di poter insegnare ai livelli superiori, avrebbe dovuto sostenere nuovamente gli esami e dimostrare una maggiore conoscenza degli argomenti per cui si era presentato. Nella primavera del 1832 fu nominato insegnante assistente al liceo di Stettino.

Fu circa in questo periodo che egli fece le due prime scoperte matematiche significanti, che erano destinate a condurlo alle importanti idee che avrebbe sviluppato alcuni anni più tardi. Nella premessa del suo “Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig del Mathematik” (Teoria dell' estensione lineare, un nuovo ramo della matematica – 1844), Grassmann descrive come era stato condotto a queste idee, già dal 1832 circa.

Nel 1834 Grassmann iniziò ad insegnare matematica alla Gewerbeschule di Berlino. Un anno dopo tornò a Stettino ad insegnare matematica, fisica, tedesco, latino, e religione in una nuova scuola la Otto Schule. Questo elevato numero di materie rivela il fatto che egli era ancora abilitato ad insegnare solo nelle scuole a livello più basso. Durante i successivi quattro anni, Grassmann superò gli esami che gli permisero di insegnare matematica, fisica, chimica e mineralogia nelle scuole secondarie di qualsiasi livello.

Grassmann si sentiva in parte rattristato dal fatto di insegnare solamente in una scuola secondaria, nonostante fosse in grado di produrre della matematica innovativa. Nel 1847, divenne un "Oberlehrer". Nel 1852, gli venne assegnato l'incarico che in precedenza era stato di suo padre al ginnasio di Stettino, e assunse quindi il titolo di professore. Nel 1847, fece richiesta al ministro prussiano dell'educazione di essere preso in considerazione per un incarico universitario, e il ministro chiese a Kummer la sua opinione su Grassmann. Kummer rispose scrivendo che il saggio di Grassman, premiato nel 1846, conteneva "(...) buon materiale espresso in forma carente". Lo scritto di Kummer pose fine alla speranza che Grassmann potesse ottenere un posto universitario. Questo episodio conferma il fatto che le autorità con le quali Grassmann aveva avuto contatti non avevano riconoscciuta l'importanza delle sue idee.

Durante i tumulti politici in Germania del 1848-1849, Hermann e Robert Grassmann stamparono un giornale a Stettino per sostenere l'unificazione tedesca sotto una monarchia costituzionale. (Questo si verificò nel 1866?.) Dopo aver scritto una serie di articoli sulla legge costituzionale, Hermann abbandonò il giornale, trovandosi sempre di più in disaccordo con la sua direzione politica.

Grassmann ebbe undici figli, sette dei quali raggiunsero l'età adulta. Uno dei figli, Hermann Ernst Grassmann, divenne professore di matematica all'Università di Giessen.

[modifica] Matematica

Fra i vari argomenti dei quali Grassman si occupò vi fu anche un saggio sulla teoria delle maree. Egli lo fece nel 1840, prendendo la teoria di base dalla Méchanique analytique di Lagrange e dalla Méchanique céleste di Laplace, ma esponendo questa teoria facendo uso dei metodi sui vettori sui quali aveva meditato dal 1832. Questo saggio, pubblicato per la prima volta nei Collected Works del 1894-1911, contiene la prima testimonianza nota di quella che oggi si chiama algebra lineare e la nozione di vettore spaziale. Egli sviluppò questi metodi nei suoi A1 e A2.

Nel 1844, Grassmann pubblicò il suo capolavoro, Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik, da qui in poi indicato come A1 e comunemente indicato come Ausdehnungslehre che traduciamo come "teoria dell'estensione" o "teoria delle grandezze estensive". Poiché l'Ausdehnungslehre propone dei nuovi fondamenti per tutta la matematica, il lavoro comincia con definizioni piuttosto generali di natura filosofica. Grassmann quindi dimostrò che se la geometria fosse stata messa nella forma algebrica che egli sosteneva, allora il numero tre non avrebbe avuto un ruolo di privilegio come numero di dimensioni spaziali; il numero di possibili dimensioni di interesse per la geometria è infatti illimitato.

Fearnley-Sander (1979) descrive la fondazione dell'algebra lineare di Grassmann in questo modo:

"La definizione di spazio lineare (spazio vettoriale)(...) divenne apertamente riconosciuta intorno al 1920, quando Hermann Weyl e altri pubblicarono la definizione formale. In realtà tale definizione era stata data circa trent'anni prima da Peano, che aveva studiato a fondo il lavoro matematico di Grassmann. Grassmann non formulò una definizione formale --- un linguaggio adeguato non era disponibile --- ma non ci sono dubbi che egli avesse chiaro il concetto."

"Cominciando con una collezione di 'unità' e₁, e₂, e₃, ..., egli effettivamente definì lo spazio lineare libero che essi generavano; in altri termini, considera la combinazione lineare formale a₁e₁ + a₂e₂ + a₃e₃ + ... dove a_j sono numeri reali, definisce l'addizione e la moltiplicazione di numeri reali [nel modo attualmente in uso] e dimostra formalmente le proprietà di spazio lineare di queste operazioni. ... Sviluppa la teoria dell' indipendenza lineare in un modo straordinariamente simile alla presentazione che si trova nei moderni testi di algebra lineare. Definisce la nozione di sottospazio vettoriale, indipendenza, lunghezza, span, dimensione, unione e intersezione di sottospazi, e proiezione di elementi nei sottospazi. "

"...in pochi sono stati così vicini come Hermann Grassmann a creare, lavorando singolarmente, una nuova disciplina."

Seguendo un'idea del padre di Grassmann, A1 definì anche il prodotto esterno, chiamato anche "prodotto combinatorio" (In tedesco: äußeres Produkt o kombinatorisches Produkt), l'operazione chiave nell'algebra che oggi conosciamo come algebra esterna. (Occorre tener presente che ai tempi di Grassmann, l'unica teoria assiomatica disponibile era la Geometria euclidea, e che la nozione generale di algebra astratta non era ancora stata definita.) Nel 1878, William Kingdon Clifford unì l'algebra esterna con i quaternioni di William Rowan Hamilton sostituendo la regola di Grassmann e_pe_p = 0 con la regola e_pe_p = 1. Per maggiori dettagli vedere algebra esterna.

L'Ausdehnungslehre fu un testo rivoluzionario, troppo avanti per i suoi tempi per poter essere apprezzato. Grassmann lo sottopose come tesi di laurea, ma Möbius si considerò incapace di valutarlo e lo inoltrò a Ernst Kummer, che lo rifiutò senza sottoporlo ad attenta lettura. Nei successivi 10 anni Grassmann scrisse una serie di lavori applicando la sua teoria dell'estensione, inclusa una Neue Theorie der Elektrodynamik del 1845, e diversi lavori sulle curve e le superfici algebriche, nella speranza che queste applicazioni potessero spingere gli altri a prendere più seriamente la sua teoria.

Nel 1846, Möbius invitò Grassmann ad una competizione per risolvere un problema originariamente posto da Leibniz: ideare un calcolo geometrico privo di coordinate e proprietà metriche. Geometrische Analyse geknüpft an die von Leibniz erfundene geometrische Charakteristik di Grassmann, fu l'idea vincitrice. Occorre comunque dire che il risultato di Grassmann fu l'unico. In ogni modo, Möbius, che era uno dei giudici, criticò il modo in cui Grassmann introdusse la nozione astratta senza dare al lettore nessuna intuizione di come queste nozioni fossero valide.

Grassmann scrisse anche di cristallografia, elettromagnetismo, e meccanica. Nel 1861 Grassmann espose la prima formulazione assiomatica dell'aritmetica, facendo largo uso del principio di induzione. Peano e i suoi successori citarono ampiamente questo lavoro a partire dal 1890. Curiosamente, Grassmann (1861) non era mai stato tradotto in inglese.

Nel 1862, Grassman, sperando di ottenere il riconoscimento della sua teoria dell'estensione, pubblicò la seconda edizione dell'Ausdehnungslehre, ampiamente riscritta, e contenente l'esposizione definitiva della sua algebra lineare. Il risultato, Die Ausdehnungslehre: Vollständig und in strenger Form bearbeitet, da qui in poi indicato A2, non fu considerato molto meglio di A1, sebbene il metodo di esposizione di A2 anticipasse i libri di testo del ventesimo secolo.

L'unico matematico ad apprezzare le idee di Grassmann durante la sua esistenza fu Hermann Hankel; questi con la sua opera Theorie der complexen Zahlensysteme(1867 ) aiutò a rendere meglio conosciute le idee di Grassmann. Questo lavoro

"... sviluppò una parte dell'algebra di Hermann Grassmann e dei quaternioni di Hamilton. Hankel fu il primo a riconoscere l'importanza degli scritti di Grassmann a lungo rifiutati ... " (l'introduzione di Hankel nel Dictionary of Scientific Biography. New York: 1970-1990)

I metodi matematici di Grassmann impiegarono tempo ad essere adottati ma essi influenzarono direttamente Felix Klein e Elie Cartan. La prima monografia di A. N. Whitehead, Universal Algebra del 1898, includeva la prima esposizione sistematica in inglese della teoria dell'estensione e dell'algebra esterna. La teoria dell'estensione venne applicata nello studio delle forme differenziali e nelle applicazioni di tali forme all'analisi e alla geometria. La geometria differenziale fa uso dell'algebra esterna. Per una introduzione all'importanza del lavoro di Grassmann nella fisica matematica si veda Penrose (2004: chpts. 11, 12).

[modifica] Colorimetria

Nel 1853 Grassmann pubblica il celebre articolo Über die Theorie der Farbenmischung (Sulla teoria della mescolanza dei colori). (È di interesse storico il fatto che Grassmann aveva anticipato la sua teoria sulla mescolanza dei colori già nell’ottobre 1852, in una conferenza alla Physikalischen Gesellschaft zu Stettin (Società di fisica di Stettino).)

Questo articolo, il primo e unico articolo di Grassmann sul colore, ha avuto grande influenza su tutti gli studi successivi sul colore. L’occasione per la sua stesura fu offerta a Grassmann da un precedente articolo di Hermann von Helmholtz nel quale l’autore, impegnato nella ricerca di coppie di colori la cui mescolanza desse il bianco (colori complementari), affermava di essere riuscito a trovare solo la coppia di complementari giallo e indaco. Helmholtz avanzava allora l’ipotesi che per produrre il bianco fossero necessari almeno tre colori spettrali.

Nel suo articolo Grassmann si propone di dimostrare, all’interno di una teoria, che il modello di Newton, al contrario, implica un numero infinito di coppie di colori complementari. Per dimostrare rigorosamente questa affermazione, Grassmann formula quattro postulati, cioè quattro leggi che riassumono l’esperienza di un osservatore impegnato nello studio della mescolanza additiva dei colori. Queste leggi sono il fondamento teorico sul quale si può costruire rigorosamente (cioè matematicamente) la teoria dei colori ed esprimono le proprietà del metamerismo in connessione con la mescolanza additiva.

Le leggi di Grassmann, come da allora vengono chiamati i postulati, sono affermazioni evidenti che costituiscono la base dalla quale far discendere deduttivamente le altre affermazioni della colorimetria.

Oltre ad elencare i quattro postulati, Grassmann ne deriva anche alcune conseguenze. Dai primi due postulati è possibile dedurre matematicamente che “per ogni colore esiste un altro colore spettrale che mescolato con il primo dà il bianco” o, in termini moderni, che per ogni colore vi è un colore spettrale additivamente complementare. Per quanto detto sopra, questa conclusione tuttavia non è corretta. Le varie gradazioni di verde non hanno complementari spettrali. I complementari dei verdi sono appunto quei viola (mescolanza di violetto e rosso, quindi non spettrali) che Grassmann ha mancato di considerare nella serie delle tinte e che sono stati introdotti da Helmholtz.

Sistemata la questione dei colori complementari, Grassmann introduce la rappresentazione geometrica (che oggi chiamiamo vettoriale) dei colori. I quattro postulati garantiscono che i colori obbediscono alla legge del baricentro e che le loro mescolanze possono essere rappresentate come somme geometriche, che Grassmann già aveva presentato nella Ausdehnungslehre (Teoria dell’estensione, pubblicata nel 1844) e in cui aveva dimostrato che il baricentro di due pesi A e B applicati nei punti a e b si può calcolare mediante una regola, oggi descritta in qualunque testo di fisica generale.

Ne segue che ogni colore può essere rappresentato nelle sue tre dimensioni con un punto e un peso nel cerchio cromatico. La direzione nella quale questo punto C esce dal centro indica la tinta, il peso del punto l’intensità totale della luce. Il prodotto dell’intensità totale per la distanza dal centro è l’intensità del colore. Il prodotto dell’intensità totale per la distanza dalla periferia è l’intensità del bianco. Se si definisce la saturazione come l’intensità del colore diviso l’intensità della luce, tale saturazione è semplicemente rappresentata dalla distanza dal centro.

La conclusione di Grassmann è che dalle sue quattro leggi, ognuna ampiamente confermata dall’esperienza, si deducono risultati che sono in accordo con la regola empirica di Newton, e che tale deduzione è stata fatta “in modo puramente matematico”. Tuttavia, secondo Grassmann, il modo in cui Newton distribuisce i colori omogenei sulla circonferenza del suo cerchio necessita di una totale revisione. Questa revisione sarà intrapresa da Helmholtz e dai suoi allievi e porterà nel 1931 alla definizione del diagramma delle cromaticità come lo conosciamo oggi.

[modifica] Linguistica

Dispiaciuto per la sua incapacità di essere riconosciuto come matematico, Grassmann si dedicò alla linguistica storica. Scrisse libri di grammatica tedesca, catalogò canzoni popolari, e imparò il Sanscrito. Il suo dizionario e la sua traduzione dell'Ayurveda (ancora in stampa) ebbero un buon riconoscimento fra i filologi. Formulò una legge relativa ai fonemi delle Lingue indoeuropee, ora chiamata in suo onore legge di Grassmann. Queste qualità filologiche furono riconosciute durante la sua vita; fu ammesso nella American Oriental Society e nel 1876, ricevette una laurea ad honorem dall'Università di Tübingen.

[modifica] Voci correlate

• algebra esterna
• numero di Grassmann
• Grassmanniano
• legge di Grassmann
• Leggi di Grassmann (colori)

[modifica] Bibliografia

Primari

• 1844. Die lineale Ausdehnungslehre. Leipzig: Wiegand. English translation, 1995, by Lloyd Kannenberg, A new branch of mathematics. Chicago: Open Court. This is A1.
• 1853 "Zur Theorie der Farbenmischung" Poggendorff’s Annalen der Physik und Chemie 89 (1) 69-84
• 1861. Lehrbuch der Mathematik fur hohere Lehrenstalten, Band 1. Berlin: Enslin.
• 1862. Die Ausdehnungslehre, vollstandig und in strenger Form bearbeitet. Berlin: Enslin. English translation, 2000, by Lloyd Kannenberg, Extension Theory. American Mathematical Society. This is A2. Excerpt translated by D. Fearnley-Sander.
• 1877 "Bemerkungen zur Theorie der Farbenempfindunge", in appendice a W. Preyer Elementen der reinen Empfindungslehre Jena: Dufft 85-93
• 1894-1911. Gesammelte mathematische und physikalische Werke, in 3 vols. Friedrich Engel ed. Leipzig: B.G. Teubner. Reprinted 1972, New York: Johnson.

Secondari

• Crowe, Michael, 1967. A History of Vector Analysis. Notre Dame University Press.
• Fearnley-Sander, Desmond, 1979, "Hermann Grassmann and the Creation of Linear Algebra," American Mathematical Monthly 86: 809-17.
• --------, 1982, "Hermann Grassmann and the Prehistory of Universal Algebra," Am. Math. Monthly 89: 161-66.
• -------, and Stokes, Timothy, 1996, "Area in Grassmann Geometry ". Automated Deduction in Geometry: 141-70
• Roger Penrose, 2004. The Road to Reality. Alfred A. Knopf.
• Schlege, Victor, 1878. Hermann Grassmann: Sein Leben und seine Werke. Leipzig: F.A. Brockhaus.
• Schubring, G., ed., 1996. Hermann Gunther Grassmann (1809-1877): visionary mathematician, scientist and neohumanist scholar. Kluwer.
• Hans-Joachim Petsche: Graßmann. Basel [usw.] 2006 (Vita Mathematica 13), ISBN 3-7643-7257-5
• Paola Cantu': La matematica da scienza delle grandezze a teoria delle forme. L’Ausdehnungslehre di H. Grassmann [Mathematics from Science of Magnitudes to Theory of Forms. The Ausdehnungslehre of H. Grassmann]. Genoa: University of Genoa. Dissertation, 2003, s. xx+465.

Extensive online bibliography, revealing substantial contemporary interest in Grassmann's life and work. References each chapter in Schubring.

[modifica] Collegamenti esterni

• Hermann Grassmann.
• Abstract Linear Spaces. Discusses the role of Grassmann and other 19th century figures in the invention of linear algebra and vector spaces.
• Fearnley-Sander's home page.