Funzioni di Lommel

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In matematica, le funzioni di Lommel possono essere di due tipi:

funzioni di Lommel dipendenti da una sola variabile $z$ : $s μ,ν (z)$ e $S μ,ν (z)$ , dove $μ,ν$ sono parametri, studiate da Eugen von Lommel nel 1876.
funzioni di Lommel dipendenti da due variabili $w, z$ : $U n (w, z)$ e $V n (w, z)$ studiate da Eugen von Lommel nel 1886.

Indice

1 Funzioni di Lommel dipendenti da una sola variabile
2 Funzioni di Lommel dipendenti da due variabili
3 Voci correlate
4 Bibliografia
5 Collegamenti esterni

[modifica] Funzioni di Lommel dipendenti da una sola variabile

Le funzioni di Lommel dipendenti da una sola variabile, $s μ,ν (z)$ e $S μ,ν (z)$ soddisfano l'equazione differenziale lineare:

$z^2 \frac{dy}{dz^2}+ z\frac{dy}{dz} +(z^2-\nu^2) y = z^{\mu+1}$

La funzione $s μ,ν (z)$ è la soluzione, sviluppabile come serie di potenze:

$s_{\mu,\nu}(z) = z^{\mu-1} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n (z/2)^{2n+2} \Gamma((\mu-\nu+1)/2) \Gamma((\mu+\nu+1)/2)}{ \Gamma((\mu-\nu+3)/2+n) \Gamma((\mu+\nu+3)/2+n) }$

Le soluzioni dell'equazione differenziale lineare sono $s μ,ν (z) + A J ν (z) + B J - ν (z)$ dove $J_{\pm \nu}$ sono funzioni di Bessel.

La funzione di Lommel $S μ,ν (z)$ è definita:

$S_{\mu,\nu}(z)=s_{\mu,\nu}(z) +\frac{2^{\mu-1}\Gamma((\mu-\nu+1)/2)\Gamma((\mu+\nu+1)/2)}{\sin \pi \nu}\left[\cos (\pi(\mu-\nu)/2) \; J_{-\nu}(z)- \cos (\pi(\mu+\nu)/2)\; J_{\nu}(z)\right]$ .

Le funzioni di Anger, le funzioni di Weber e le funzioni di Struve sono casi particolari delle funzioni di Lommel.

[modifica] Funzioni di Lommel dipendenti da due variabili

Le funzioni $U n (w, z)$ e $V n (w, z)$ sono definite come serie di funzioni di Bessel:

$U_{\nu}(w,z)=\sum_{m=0}^\infty (-1)^m \left(\frac w z \right)^{\nu+2m} J_{\nu+2m}(z)$

$V_{\nu}(w,z)=\cos\left( \frac w 2 +\frac{z}{2w}+\frac{\nu \pi} 2\right) + U_{2-\nu}(w,z)$

Queste funzioni sono importanti nella teoria della diffrazione.

[modifica] Voci correlate

[modifica] Bibliografia

funzione S_μ,ν,s_μ,ν :
- (DE) E. Lommel Ueber eine mit den Bessel'schen Functionen verwandte Function Math. Ann. 9, 425 (1876)
- (DE) G. N. Watson A treatise on the theory of the Bessel functions (Cambridge University Press, 1922) pp. 345-352

funzione $U ν, V ν$ :

- (DE) E. Lommel Abh. der Math. Phys. classe der k. b. Akad. der Wiss. (Munchen) 15 P. 229 (1886)
- (DE) E. Lommel Abh. der Math. Phys. classe der k. b. Akad. der Wiss. (Munchen) 15 P. 529 (1886)
- (EN) J. Walker The analytical theory of light (Cambridge University Press, 1904)
- (EN) G. N. Watson A treatise on the theory of the Bessel functions (Cambridge University Press, 1922) pp. 537-550
- (EN) A. Gray e G. B. MathewsA treatise on Bessel functions and their applications to physics pp. 165-209 (London: Macmillan and co., 1895)