Funzioni di Bloch

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

La comprensione ottimale dell'argomento trattato in questa voce presuppone la conoscenza dei seguenti concetti:

Meccanica quantistica
Notazione bra-ket
condizioni periodiche di Born-von Karman

Un esempio di funzione di Bloch nel Silicio

Le funzioni di Bloch (dal nome del fisico Felix Bloch, che per primo le introdusse nel 1928) sono orbitali di singola particella in un sistema quantistico periodico. Sono costituite da onde piane modulate nello spazio da una funzione periodica, di periodo pari a quello del potenziale del sistema quantistico associato.

Si adoperano solitamente per descrivere gli autostati dell'hamiltoniana per gli elettroni in un cristallo, ma può trattarsi anche di fotoni in un cristallo fotonico. Tale descrizione è garantita da un importante risultato della Meccanica quantistica, noto come Teorema di Bloch.

[modifica] Teorema di Bloch

Un cristallo può essere descritto da un sistema quantistico che obbedisce alle condizioni periodiche di Born-von Karman. All'interno del reticolo cristallino, è possibile individuare una cella fondamentale, descrivibile da tre vettori di base, indicati con $\mathbf{a}_{1}$ , $\mathbf{a}_{2}$ e $\mathbf{a}_{3}$ .

Questo significa che l'hamiltoniana è esprimibile nel seguente modo:

$H=\frac{1}{2m}p^{2}+V(\mathbf{r})$

in cui il potenziale $V(\mathbf{r})$ rispetta la condizione di periodicità:

$V(\mathbf{r+a}_{j})=V(\mathbf{r})\quad j=1,2,3$

In queste condizioni, l'hamiltoniana commuta con i tre operatori di traslazione

$T_{j}=e^{i\mathbf{a}_{j}\cdot\mathbf{p}/\hbar}$ .

Poiché inoltre gli operatori di traslazione commutano tra loro, si possono diagonalizzare simultaneamente con l'hamiltoniana. Quest'ultima ha dunque come autovalori le energie degli stati, mentre gli operatori di traslazione hanno autovalori di norma unitaria esprimibili nella forma: $\lambda_{j}=e^{i\mathbf{k\cdot a}_{j}}$ . Per catalogare gli stati, si usa il vettore $\mathbf{k}$ , detto vettore d'onda di Bloch:

$H\psi_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r})=\varepsilon_{n}(\mathbf{k})\psi_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r})$ .

Gli autostati dell'hamiltoniana formano, in generale, una base di uno spazio di Hilbert e si assumono normalizzati su una cella, ovvero:

$\int_{cella}d\mathbf{r}\psi_{n\mathbf{k}}^{\star}(\mathbf{r})\psi_{m\mathbf{k}}(\mathbf{r})=\delta_{nm}$ .

In notazione di Dirac le funzioni di Bloch si indicano con la notazione $|\psi_{n\mathbf{k}}>$ , in cui l'equazione precedente è intesa come prodotto scalare e viene scritta semplicemente

$<\psi_{n\mathbf{k}}|\psi_{m\mathbf{k}}>=\delta_{nm}$

Gli stati sono appunto le funzioni di Bloch. Sono onde piane la cui struttura viene modulata nello spazio da una funzione periodica. Possono quindi essere scritte nella forma seguente:

$\psi_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r})=e^{i\mathbf{k\cdot r}}u_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r})$

o, in notazione di Dirac:

$|\psi_{n\mathbf{k}}>=e^{i\mathbf{k\cdot r}}|u_{n\mathbf{k}}>$

in cui appaiono un fattore di fase, una funzione $u_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r})$ , o $|u_{n\mathbf{k}}>$ , periodica sul reticolo, il numero quantico di banda $n$ e il vettore d'onda cristallino $\mathbf{k}$ .

Il vettore d'onda $\mathbf{k}$ si trova nel cosiddetto spazio reciproco, anch'esso periodico, che ha come base i vettori

$\mathbf{G}_{1}=\frac{2\pi}{V_{c}}\mathbf{a}_{2}\times\mathbf{a}_{3},\quad \mathbf{G}_{2}=\frac{2\pi}{V_{c}}\mathbf{a}_{3}\times\mathbf{a}_{1},\quad \mathbf{G}_{3}=\frac{2\pi}{V_{c}}\mathbf{a}_{1}\times\mathbf{a}_{2}$

dove $V c$ è il volume della cella. L'indicizzazione delle funzioni d'onda è unica se il vettore $k$ viene limitato alla prima zona di Brillouin.

[modifica] Bibliografia

(EN) Charles Kittel, Introduction to Solid State Physics, Wiley, New York 1996.
(EN) Neil W. Ashcroft, N. David Mermin, Solid State Physics, Harcourt, Orlando 1976.
(EN) D. Chruściński, A. Jamiołkiwski, Geometric Phases in Classical and Quantum Mechanics, Birkhäuser, Boston 2004.