Funzione Beta di Eulero

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La funzione Beta di Eulero, detta anche Integrale di Eulero del primo tipo, è data dall'integrale definito:

$\beta(x,y)=\int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt$

dove sia x che y hanno parte reale positiva e non nulla (se lo fossero, l'integrale non convergerebbe a un numero finito). Questa funzione fu studiata per primo da Eulero e da Legendre, ma fu Jacques Binet a battezzarla con il suo nome attuale. È una funzione simmetrica, cioè il suo valore non cambia scambiando x e y:

$\beta \left( {x,y} \right) = \beta \left( {y,x} \right)$

inoltre valgono anche le due seguenti identità:

β(1,1)=1
β(1/2,1/2)=π

La funzione Beta si può scrivere in molti modi, di cui i più comuni sono i seguenti:

$\mathrm{\beta}(x,y)=\dfrac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} \!$

$\mathrm{\beta}(x,y) = 2\int_0^{\pi/2}\sin^{2x-1}\theta\cos^{2y-1}\theta\,d\theta, \qquad \Re(x)>0,\ \Re(y)>0 \!$

$\mathrm{\beta}(x,y) = \int_0^\infty\dfrac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}\,dt, \qquad \Re(x)>0,\ \Re(y)>0 \!$

$\mathrm{\beta}(x,y) = \dfrac{1}{y}\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\dfrac{(y)_{n+1}}{n!(x+n)} \!$

dove $Γ(x)$ è la funzione Gamma e (x)_n è il fattoriale discendente, cioè $x (x - 1)(x - 2)...(x - n + 1)$ . In particolare, combinando la prima e la seconda forma si dimostra che $\Gamma(1/2) = \sqrt \pi$ .

Così come la funzione gamma descrive i fattoriali dei numeri interi, cioè se l'argomento è un numero intero il suo risultato è il fattoriale di quel numero, la funzione Beta (con un piccolo aggiustamento degli indici) descrive i coefficienti binomiali: più precisamente è

${n \choose k} = \frac1{(n+1) \mathrm{B}(n-k+1, k+1)}$

La funzione Beta è stato il primo modello di matrice S nella teoria delle stringhe, congetturato per la prima volta da Gabriele Veneziano.

Indice

1 Relazioni fra la funzione Gamma e la funzione Beta
2 Derivata
3 Integrali
4 Funzione beta incompleta
- 4.1 Proprietà
5 Voci correlate
6 Bibliografia

[modifica] Relazioni fra la funzione Gamma e la funzione Beta

Per ricavare la forma integrale della funzione beta, si può scrivere il prodotto di due fattoriali come:

$\mathrm{\Gamma(x)\Gamma(y)} = \int_0^\infty\ e^{-u} u^{x-1}\mathrm{d}u \int_0^\infty\ e^{-v} v^{y-1}\mathrm{d}v. \!$

Ora poniamo $u \equiv a^2$ , $v \equiv b^2$ in modo che:

$\begin{align} \mathrm{\Gamma(x)\Gamma(y)} &= 4\int_0^\infty\ e^{-a^2} a^{2x-1}\mathrm{d}a \int_0^\infty\ e^{-b^2} b^{2y-1}\mathrm{d}b \\ &= \int_{-\infty}^\infty\ \int_{-\infty}^\infty\ e^{-(a^2+b^2)} |a|^{2x-1} |b|^{2y-1} \, \mathrm{d}a \, \mathrm{d}b. \end{align} \!$

Trasformiamo in coordinate polari con $a = r cosθ$ , $b = r sinθ$ :

$\begin{align} \mathrm{\Gamma(x)\Gamma(y)} &= \int_0^{2\pi}\ \int_0^\infty\ e^{-r^2} |r\cos\theta|^{2x-1} |r\sin\theta|^{2y-1} r \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta \\ &= \int_0^\infty\ e^{-r^2} r^{2x+2y-1} \, \mathrm{d}r \int_0^{2\pi}\ |\cos^{2x-1}\theta \sin^{2y-1}\theta| \, \mathrm{d}\theta \\ &= 2\int_0^\infty\ e^{-r^2} r^{2(x+y-1)} \, \mathrm{d}(r^2) \int_0^{\pi/2}\ \cos^{2x-1}\theta \sin^{2y-1} \theta \, \mathrm{d}\theta \\ &= 2\Gamma(x+y) \int_0^{\pi/2}\ \cos^{2x-1}\theta \sin^{2y-1} \theta \, \mathrm{d}\theta \\ &= \Gamma(x+y) \beta(x, \, y). \end{align} \!$

e quindi riscriviamo gli argomento nella forma solita della funzione beta:

$\beta(x,\,y) = \frac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}.$

[modifica] Derivata

La derivata della funzione beta può essere scritta sfruttando, di nuovo, la funzione gamma:

${\partial \over \partial x} \mathrm{\beta}(x, y) = \mathrm{\beta}(x, y) \left( {\Gamma'(x) \over \Gamma(x)} - {\Gamma'(x + y) \over \Gamma(x + y)} \right) = \mathrm{\beta}(x, y) (\psi(x) - \psi(x + y))$

dove $ψ(x)$ è la funzione digamma.

[modifica] Integrali

L'integrale di Nörlund-Rice è un integrale di circuitazione che coinvolge la funzione beta.

[modifica] Funzione beta incompleta

La funzione beta incompleta è una generalizzazione della funzione beta che sostituisce l'integrale definito della funzione beta con un integrale indefinito. È una generalizzazione del tutto analoga a quella della funzione gamma (la funzione gamma incompleta).

La funzione beta incompleta è definita come:

$\beta(x;\,a,b) = \int_0^x t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,\mathrm{d}t. \!$

Per x = 1, la funzione beta incompleta ridiventa la normale funzione beta.

La funzione beta incompleta regolarizzata (o più brevemente funzione beta regolarizzata) è definita in termini di entrambe le due:

$I_x(a,b) = \dfrac{\beta(x;\,a,b)}{\beta(a,b)}. \!$

Calcolando l'integrale per valori interi di a e b, si ottiene:

$I_x(a,b) = \sum_{j=a}^{a+b-1} {(a+b-1)! \over j!(a+b-1-j)!} x^j (1-x)^{a+b-1-j}.$

[modifica] Proprietà

$I_0(a,b) = 0 \,$

$I_1(a,b) = 1 \,$

$I_x(a,b) = 1 - I_{1-x}(b,a) \,$

(se ne potrebbero elencare molte altre)

[modifica] Voci correlate

funzione Gamma
funzione, integrale, integrale definito, Tavola degli integrali definiti
Leonhard Euler (Eulero) - studiò le funzioni Beta e Gamma
Teoria delle stringhe
Distribuzione beta
Distribuzione binomiale
Distribuzione di Yule-Simon
Distribuzione uniforme

[modifica] Bibliografia

E. T. Whittaker e G. N. Watson A course of Modern Analysis p. 247 (Cambridge University Press, 1915)
T. M. MacRobert Functions of a complex variable p. 144 (London: MacMillan, 1917)
M. Abramowitz e I. Stegun Handbook of Mathematical Functions (Washington: Governement Printing Office, 1964) [1] (funzione Beta) p. 263 (funzione Beta incompleta)

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Categoria: Funzioni speciali

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[modifica] Relazioni fra la funzione Gamma e la funzione Beta

[modifica] Derivata

[modifica] Integrali

[modifica] Funzione beta incompleta

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[modifica] Bibliografia

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