Curvatura gaussiana

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Un iperboloide, un cilindro e una sfera: si tratta di superfici con curvatura gaussiana (rispettivamente) negativa, nulla e positiva.

In geometria differenziale, la curvatura gaussiana è una misura della curvatura di una superficie in un punto.

La curvatura gaussiana in un punto $x$ di una superficie contenuta nello spazio euclideo è definita come il prodotto delle due curvature principali in $x$ . La curvatura gaussiana, a differenza delle curvature principali, è una curvatura intrinseca: dipende cioè soltanto dalle distanze fra punti all'interno della superficie, e non da come questa sia contenuta nello spazio tridimensionale. Questo fatto importante è asserito dal teorema egregium di Gauss.

Un altro tipo di curvatura calcolato a partire dalle curvature principali è la curvatura media. A differenza della curvatura di Gauss, la curvatura media non è intrinseca.

Indice

1 Definizione
- 1.1 Hessiano
- 1.2 Curvature principali
2 Esempi
- 2.1 Curvatura costante
- 2.2 Esempio puntuale
3 Curvatura totale
4 Proprietà
- 4.1 Teorema egregium
- 4.2 Gauss-Bonnet
5 Bibliografia
6 Voci correlate

[modifica] Definizione

[modifica] Hessiano

Una semplice definizione della curvatura gaussiana di una superficie è la seguente. La curvatura gaussiana non cambia se la superficie viene spostata con movimenti rigidi. Per definire la curvatura gaussiana di una superficie $X$ in un punto $P$ , possiamo quindi ruotare $X$ in modo che il piano tangente in $P$ sia orizzontale. A questo punto la superficie è descritta (almeno localmente, in un intorno di $P$ ) come grafico di una funzione

$f:A\to\R$

avente come dominio un aperto $A$ di $\R^2$ . La curvatura gaussiana in $P = (x, y, f (x, y))$ è il determinante dell'hessiano di $f$ in $(x, y)$ . Perché questa definizione abbia senso, la funzione deve essere differenziabile almeno due volte: l'hessiano è infatti la matrice simmetrica $2\times 2$ data dalle derivate parziali seconde di $f$ .

[modifica] Curvature principali

La curvatura gaussiana di una superficie più generale $X$ in un punto $x$ è il prodotto $k 1 k 2$ delle curvature principali. Per definire le curvature principali è necessario fissare una normale alla superficie in $X$ : poiché la normale opposta dà curvature con segni opposti, il loro prodotto è però ben definito anche senza questa scelta.

[modifica] Esempi

[modifica] Curvatura costante

Un piano o un cilindro hanno curvatura gaussiana ovunque nulla. Una sfera di raggio $r$ ha curvatura gaussiana ovunque $1 / r 2$ .

[modifica] Esempio puntuale

Il paraboloide

f (x, y) = x 2 + y 2

ha curvatura positiva nel suo punto di minimo, pari al determinante dell'hessiano. Ha curvatura positiva anche negli altri punti, ma con valore differente dal determinante.

La funzione

f (x, y) = a x 2 + b y 2

ha gradiente $(2 a x,2 b y)$ . Il gradiente è nullo nell'origine, e quindi la curvatura gaussiana del grafico $X$ di $f$ in $(0,0)$ è il determinante dell'hessiano. L'hessiano è

$\begin{pmatrix} 2a & 0 \\ 0 & 2b \end{pmatrix}$

ed il suo determinante è $4 a b$ . La curvatura di $X$ in $(0,0)$ è quindi $4 a b$ . Questa è ad esempio negativa in presenza di un punto di sella, ove $a$ e $b$ hanno segni discordi.

Questo metodo per calcolare la curvatura è però funzionante solo in $(0,0)$ , dove il gradiente si annulla.

[modifica] Curvatura totale

La somma degli angoli di un triangolo su una superficie di curvatura negativa è minore di quella che si ottiene su un triangolo piano (cioè

π

La curvatura totale di una regione $A$ della superficie $X$ è l'integrale di superficie

$\int_AK\,ds$

della curvatura gaussiana $K$ su $A$ . La curvatura totale misura quanto si differenzia globalmente la geometria di $A$ da quella di una regione piatta sul piano: ad esempio, la curvatura totale di un triangolo geodetico $T$ è pari alla differenza fra la somma dei suoi angoli interni (in radianti) e $π$ . In altre parole,

$\sum_{i=1}^3 \theta_i = \pi + \int_T K \,ds$

dove $θ 1,θ 2$ e $θ 3$ sono gli angoli interni.

La somma degli angoli di un triangolo su una sfera, che ha curvatura positiva, è maggiore di

π

La somma degli angoli di un triangolo su una superficie di curvatura ovunque positiva è maggiore di $π$ , mentre è minore se la superficie ha curvatura ovunque negativa.

[modifica] Proprietà

[modifica] Teorema egregium

Per il teorema egregium dimostrato da Gauss nel 1828, la curvatura gaussiana dipende solo dalla sua prima forma fondamentale, cioè dal suo tensore metrico.

La curvatura gaussiana è quindi invariante per isometrie della superficie: si tratta cioè di una proprietà intrinseca della superficie. Una isometria non è necessariamente un movimento rigido dello spazio: un esempio è fornito da un foglio di carta, che può essere arrotolato fino a formare un cilindro. Piano e cilindro sono (almeno localmente) isometrici.

[modifica] Gauss-Bonnet

Il teorema di Gauss-Bonnet fornisce una stretta connessione fra la curvatura totale di una superficie e la sua topologia. Se $X$ è una superficie compatta, il teorema asserisce che

$\int_XK\,ds = 2\pi\chi(X)$

cioè la curvatura totale della superficie è pari alla sua caratteristica di Eulero, moltiplicata per $2π$ .

Ad esempio, una sfera di raggio $r$ ha caratteristica 2, e la sua curvatura totale è sempre $4π$ , indipendentemente da $r$ . Infatti, è pari al prodotto fra l'area $4π r 2$ e la curvatura, che è costantemente pari a $1 / r 2$ , poiché entrambe le curvature principali sono $1 / r$ . Più sorprendentemente, la curvatura totale di una qualsiasi superficie omeomorfa alla sfera (ad esempio, il bordo di un ellissoide) è sempre $4π$ .

I punti più esterni di un toro hanno curvatura positiva, quelli più interni negativa, e si compensano in modo che l'integrale sulla superficie sia nullo.

Un toro ha caratteristica di eulero nulla. Ne segue che la sua curvatura totale è nulla: o questa è ovunque nulla (cosa però impossibile per un toro contenuto nello spazio tridimensionale), oppure presenta zone di curvatura positiva e zone di curvatura negativa.

[modifica] Bibliografia

(EN) Manfredo do Carmo. Differential Geometry of Curves and Surfaces. , 1976. ISBN 0-13-212589-7

[modifica] Voci correlate

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Categorie: Superfici | Geometria differenziale

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