Curvatura gaussiana

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Da esquerda para a direita: uma superfície de uma curvatura gaussiana negativa (hiperbolóide), uma superfície de uma curvatura gaussiana zero (cilindro), e uma superfície de uma curvatura gaussiana positiva (esfera).

Em geometria diferencial, a curvatura gaussiana ou curvatura de Gauss de um ponto sobre uma superfície é o produto das curvaturas principais, κ₁ e κ₂, do ponto dado. É uma medida intrínsica de curvatura, i.e., seu valor depende somente de como as distâncias são medidas sobre a superfície, não da maneira como estão imersas no espaço. Este resultado é o índice do teorema egrégio de Gauss.

Simbolicamente, a curvatura gaussiana Κ é definida como

$\Kappa = \kappa_1 \kappa_2 \,\!$ .

Também é dada por

$\Kappa = \frac{\langle (\nabla_2 \nabla_1 - \nabla_1 \nabla_2)\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2\rangle}{\det g},$

onde $\nabla_i = \nabla_{{\mathbf e}_i}$ é o derivativo covariante e g é o tensor métrico.

Em um ponto p sobre uma superfície regular em R³, a curvatura gaussiana é também dada por

$K(\mathbf{p}) = \det(S(\mathbf{p})),$

onde S é o operador de formato.

Uma útil fórmula para a curvatura gaussiana é a equação de Liouville em termos do Laplaciano em coordenadas isotérmicas.

[editar] Definição informal

Nós representamos a superfície pelo teorema da função implícita como o gráfico e uma função f de 2 variáveis, e assume o ponto p como um ponto crítico, i.e. o gradiente de f desaparece (isto pode semple ser alcançado por um movimento rígido apropriado). Entõ a curvatura Gaussiana da superfície em p é o determinante da matrix de Hessian de f, i.e. a matriz 2 por 2 de segundas derivadas. Esta definição permite que uma imediatamente siga a distinção entre o tampão/copo versus sele o comportamento do ponto nos termos do cálculo secundário.