Gram-Schmidt reikniritið

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu

Fyrstu tvö skref Gram-Schmidt reikniritsins.

Gram-Schmidt reikniritið er mikið notað reiknirit í línulegri algebru sem notað er til þess að þverstaðla mengi vigra í gefnu innfeldisrúmi, oftast Evklíðska rúmið $\mathbb{R}^n$ . Reikniritið tekur endanlegt, línulega óháð mengi vigra $S = {v 1,..., v n}$ og skilar út þverstöðluðu mengi $S' = {u 1,..., u n}$ sem spannar sama hlutrúmið.

Reikniritið er nefnt eftir Jørgen Pedersen Gram og Erhard Schmidt, en það kom áður fram í verkum Laplace og Cauchy. Í Lie-grúpufræði er aðferðin útvíkkuð með Iwasawa þáttun.

Beiting Gram-Schmidt reikniritsins á dálkvigra fylkis af fullri stétt gefur QR-þáttun þess.

[breyta] Reikniritið

Við skilgreinum ofanvarpsvirkjann sem:

$\mathrm{proj}_{\mathbf{u}}\,\mathbf{v} = {\langle \mathbf{v}, \mathbf{u}\rangle\over\langle \mathbf{u}, \mathbf{u}\rangle}\mathbf{u}.$

Hann varpar vigrinum v hornrétt á vigurinn u.

Þá virkar reikniritið þannig:

	$\mathbf{u}_1 = \mathbf{v}_1,$		$\mathbf{e}_1 = {\mathbf{u}_1 \over \|\|\mathbf{u}_1\|\|}$
	$\mathbf{u}_2 = \mathbf{v}_2-\mathrm{proj}_{\mathbf{u}_1}\,\mathbf{v}_2,$		$\mathbf{e}_2 = {\mathbf{u}_2 \over \|\|\mathbf{u}_2\|\|}$
	$\mathbf{u}_3 = \mathbf{v}_3-\mathrm{proj}_{\mathbf{u}_1}\,\mathbf{v}_3-\mathrm{proj}_{\mathbf{u}_2}\,\mathbf{v}_3,$		$\mathbf{e}_3 = {\mathbf{u}_3 \over \|\|\mathbf{u}_3\|\|}$
	$\vdots$		$\vdots$
	$\mathbf{u}_k = \mathbf{v}_k-\sum_{j=1}^{k-1}\mathrm{proj}_{\mathbf{u}_j}\,\mathbf{v}_k,$		$\mathbf{e}_k = {\mathbf{u}_k\over\|\|\mathbf{u}_k\|\|}$