תנאי ליפשיץ

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

במתמטיקה, וליתר דיוק באנליזה ממשית, תנאי ליפשיץ, הקרוי על-שם המתמטיקאי הגרמני רודולף ליפשיץ, הוא תנאי לחלקוּת של פונקציות החזק יותר מרציפות רגילה. אינטואטיבית, פונקציה המקיימת את תנאי ליפשיץ מוגבלת בקצב ההשתנות שלה, או בעלת השתנות חסומה: לכל קו המחבר שתי נקודות כלשהן על גרף הפונקציה יהיה שיפוע קטן יותר ממספר מסוים, הנקרא קבוע ליפשיץ של הפונקציה.

לפונקציות שמקיימות את תנאי ליפשיץ חשיבות גדולה במשפט הקיום והיחידות של פתרון משוואות דיפרנציאליות רגילות. משפט נקודת השבת של בנך עוסק במקרה מיוחד של פונקציות המקיימות את תנאי ליפשיץ, הנקראות "העתקה מכווצת".

ניתן להגדיר את תנאי ליפשיץ על כל מרחב מטרי.

תוכן עניינים

1 הגדרות
- 1.1 פונקציות ממשיות
- 1.2 מרחבים מטריים
2 דוגמאות
3 תכונות
4 ראו גם

[עריכה] הגדרות

[עריכה] פונקציות ממשיות

פונקציה ממשית $\ f$ , המוגדרת על תת-קבוצה $\ D$ של המספרים הממשיים $f \colon D \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ מקיימת את תנאי ליפשיץ (Lipschitz condition), ונקראת רציפה ליפשיץ (Lipschitz continuous), אם קיים קבוע $\ K \ge 0$ עבורו לכל $\ x,y \in D$ הפונקציה מקיימת: $\ |f(x)-f(y)|\le K|x-y|$ .

הקבוע $\ K$ , הקטן ביותר המקיים את התנאי נקרא קבוע ליפשיץ של הפונקציה $\ f$ .

מכיוון שהאי-שוויון דלעיל מתקיים תמיד אם $\ x=y$ ניתן להגדיר פונקציה כמקיימת את תנאי ליפשיץ אם ורק אם $\frac{|f(x_1)-f(x_2)|}{|x_1-x_2|}\le K$ עבור $\ x_1\neq x_2$ . במילים אחרות, אם ורק אם קבוצת השיפועים של הקווים החותכים את הפונקציה בשתי נקודות או יותר, חסומה.

נאמר על פונקציה שהיא מקיימת את תנאי ליפשיץ באופן מקומי אם לכל $x \in D$ קיימת סביבה $\ U(x)$ כך שהצמצום של $\ f$ ל- $\ U(x)$ מקיים את תנאי ליפשיץ.

נאמר על פונקציה $\ f$ , המוגדרת על הקטע $\ [a,b]$ , שהיא רציפה-ליפשיץ במידה שווה מסדר $\ \alpha > 0$ על $\ [a,b]$ אם קיים קבוע $\ M > 0$ כך ש- $\displaystyle |f(x) - f(y)| < M |x - y|^{\alpha}$ לכל $\ x,y$ ב- $\ [a,b]$ (תנאי זה נקרא לעתים תנאי הולדר).

[עריכה] מרחבים מטריים

ניתן להכליל את תנאי ליפשיץ גם עבור פונקציה על מרחב מטרי כלשהו, כלומר כל מרחב שבו מוגדר מושג המרחק. יהיו $\ X,Y$ מרחבים מטריים, $\ d_X$ ו- $\ d_Y$ המטריקות המתאימות, $\ U$ תת-קבוצה של $\ X$ ו- $\ f$ פונקציה $\ f:U\to Y$ . נאמר שהפונקציה $\ f$ מקיימת את תנאי ליפשיץ, אם קיים קבוע $\ K \ge 0$ כך שלכל $\ x_1,x_2\in U$ מתקיים $\ d_Y(f(x_1),f(x_2))\le Kd_X(x_1,x_2)$ .

הקבוע $\ K$ , הקטן ביותר המקיים את התנאי נקרא קבוע ליפשיץ של הפונקציה $\ f$ . אם $\ K < 1$ הפונקציה נקראת העתקה מכווצת.

אם קיים $K \ge 1$ כך שמתקיים $\frac{1}{K}d_X(x_1,x_2) \le d_Y(f(x_1), f(x_2)) \le K d_X(x_1, x_2)$ , אז $\ f$ נקראת בי-ליפשיץ (או ביליפשיץ). זהו איזומורפיזם בקטגוריה של העתקות ליפשיץ.

[עריכה] דוגמאות

הפונקציה $\ f(x) = x^2$ עם $\mathbb {R}$ כתחומה אינה מקיימת את תנאי ליפשיץ. היא נעשית תלולה כרצוננו כאשר $\ x \to \infty$ . לעומת זאת, היא מקיימת את תנאי ליפשיץ באופן מקומי.

הפונקציה $\ f(x) = x^2$ המוגדרת על $\ [-3,7]$ מקיימת את תנאי ליפשיץ, וקבוע ליפשיץ שלה הוא $\ K=14$ , על-פי חישוב הנגזרת (ראו להלן).

הפונקציה $\ f(x) = \sqrt{x^2+5}$ המוגדרת עבור כל המספרים הממשיים מקיימת את תנאי ליפשיץ, עם קבוע ליפשיץ $\ K = 1$ .

הפונקציה $\ f(x) = |x|$ המוגדרת על הממשיים מקיימת את תנאי ליפשיץ וקבוע-ליפשיץ שלה הוא 1. זוהי דוגמה לפונקציה המקיימת את תנאי ליפשיץ שאינה גזירה.

הפונקציה $f(x) = \sqrt{x}$ המוגדרת על הקטע $[0,1]$ אינה מקיימת את תנאי ליפשיץ. הפונקציה נעשית תלולה כרצוננו עבור $x \to 0$ מכיוון שהנגזרת שלה שואפת לאינסוף. לעומת זאת, הפונקציה היא רציפה הולדר מהמרחב $\ C^{0,\alpha}$ , עבור כל $\alpha \leq 1/2$ .

[עריכה] תכונות

פונקציה $\ g$ הרציפה בכל מקום מקיימת את תנאי ליפשיץ (עם $\ K = \mbox{sup}|g'(x)|$ ‎) אם הנגזרת הראשונה שלה חסומה - על-פי משפט הערך הממוצע של לגראנז'. כך, כל פונקציה ב- $\ C^1$ מקיימת את תנאי ליפשיץ באופן לוקלי, מכיוון שפונקציות רציפות על מרחב קומפקטי מקומי הן חסומות באופן מקומי.

תנאי ליפשיץ משתמר טוב יותר מגזירות: אם סדרה של פונקציות מקיימות את תנאי ליפשיץ $\ \{f_k\}$ מתכנסת ל- $\ f$ , אז גם $\ f$ מקיימת את תנאי ליפשיץ.

פונקציה המקיימת את תנאי ליפשיץ היא רציפה במידה שווה ולכן בפרט רציפה. ההפך לא נכון: לדוגמה, הפונקציה $\ f(x)=\sqrt{x}$ רציפה במידה שווה בקטע $\ [0,1]$ , אך אינה מקיימת את תנאי ליפשיץ שם.

כל פונקציה שהיא בי-ליפשיץ (ראה הגדרה דלעיל) היא פונקציה חד חד ערכית. פונקציה שהיא בי-ליפשיץ היא בעצם פונקציה רציפה-ליפשיץ שגם הפונקציה ההופכית שלה היא רציפה-ליפשיץ.

בהינתן פונקציה המקיימת את תנאי ליפשיץ באופן לוקלי $\ f:X \to Y$ , הצמצום של $\ f$ לכל קבוצה קומפקטית $\ U \subseteq X$ הוא רציף-ליפשיץ.

אם $\ U$ היא תת-קבוצה של המרחב המטרי $\ X$ , ו- $f:U \to \mathbb {R}$ היא העתקה רציפה-ליפשיץ, קיימת העתקה רציפה-ליפשיץ המרחיבה את $\ f$ ל- $\ X$ בעלת אותו קבוע-ליפשיץ כמו של $\ f$ (ראו גם משפט קירשבראון).

משפט ראדמאכר: אם $\ A$ היא תת-קבוצה פתוחה של $\mathbb {R}^n$ , והפונקציה $f:A \to \mathbb R^m$ מקיימת את תנאי-ליפשיץ, אז $\ f$ גזירה כמעט בכל מקום ב- $A\$ (כלומר, היא גזירה בכל מקום למעט בקבוצה בעלת מידת לבג 0).