משפט הקיום והיחידות (משוואות דיפרנציאליות)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

במתמטיקה, בחקר המשוואות הדיפרנציאליות, משפט הקיום והיחידות, משפט פיקארד-לינדלוף, משפט הקיום של פיקארד או משפט קושי-ליפשיץ, הוא משפט חשוב על הקיום והיחידות של פתרונות לסוג מסוים של בעיות התחלה.

המשפט נקרא כך על-שם המתמטיקאים צ'ארלס אמיל פיקארד, ארנסט לינדלוף, רודולף ליפשיץ ואוגוסטן לואי קושי.

[עריכה] משפט הקיום והיחידות

נתבונן בבעיית ההתחלה

$. y'(t)=f(t,y(t)),\quad y(t_0)=y_0, \quad t \in [t_0-\alpha, t_0+\alpha]$

ונניח ש- $\,f$ חסומה, רציפה ליפשיץ ב- $\,y$ , ורציפה ב- $\,t$ . אז, עבור $\,\varepsilon > 0$ כלשהו, לבעיית ההתחלה קיים פתרון יחיד $\,y(t)$ ‎ בטווח $\,[t_0-\varepsilon, t_0+\varepsilon]$ .

[עריכה] סקירת ההוכחה

הוכחה פשוטה לקיום הפתרון היא על ידי קירוב ההולך ומשתפר (השיטה נקראת גם איטרצית פיקארד):

נגדיר

$\varphi_0(t)=y_0 \,\!$

וגם

$\varphi_i(t)=y_0+\int_{t_0}^{t}f(s,\varphi_{i-1}(s))\,ds.$

אז ניתן להראות, באמצות משפט נקודת השבת של בנך, שהסדרה של $\varphi_i \,\!$ (הנקראת איטרציות פיקארד) מתכנסת וגבולה הוא הפתרון לבעיה.

שימוש בלמה של Grönwall על $|\varphi(t)-\psi(t)|$ , כאשר $\varphi$ ו- $\displaystyle \psi$ הם שני פתרונות, יראה ש- $\varphi(t)\equiv\psi(t)$ , ולכן הפתרון הוא יחיד.

[עריכה] ראו גם

משוואות דיפרנציאליות רגילות
משפט פרוביניוס
משפט הקיום של פאנו

[עריכה] קישורים חיצוניים

[עריכה] לקריאה נוספת

M. E. Lindelöf, Sur l'application de la méthode des approximations successives aux équations différentielles ordinaires du premier ordre; Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Vol. 114, 1894, pp. 454-457. או בגרסה מקוונת http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3074r/f454.table . (במאמר זה לינדלוף מראה הכללות לגישות קודמות בהן נקט פיקארד.)

קטגוריות: משוואות דיפרנציאליות | משפטים מתמטיים

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

משפט הקיום והיחידות (משוואות דיפרנציאליות)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

תוכן עניינים

[עריכה] משפט הקיום והיחידות

[עריכה] סקירת ההוכחה

[עריכה] ראו גם

[עריכה] קישורים חיצוניים

[עריכה] לקריאה נוספת

Views

ניווט

קהילה

חיפוש

שפות אחרות