柯西-利普希茨定理

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在数学中，柯西-利普希茨定理（Cauchy-Lipschitz Theorem），又称皮卡-林德洛夫定理（Picard-Lindelöf Theorem），保证了一元常微分方程的局部解以至最大解的存在性和唯一性。此定理最早由奧古斯丁·路易·柯西于1820年发表，但直到1868年，才由鲁道夫·利普希茨给出确定的形式。另一个很常见的叫法是皮卡-林德洛夫定理，得名于数学家埃米·皮卡和恩斯特·林德洛夫。

[编辑] 局部定理

设 $\mathbb E$ 为一个完备的有限维赋范向量空间（即一个巴拿赫空间）， $f$ 为一个取值在 $\mathbb E$ 上的函数：

$\begin{matrix}f : & U \times I & \longrightarrow & \mathbb E \\ & (x,t) & \longmapsto & f(x,t)\end{matrix}$

其中 $U \subset \mathbb E$ 为 $\mathbb E$ 中的一个开集， $I \subset \mathbb R$ 为 $\mathbb R$ 中的一个区间。考虑以下的一阶非线性微分方程：

$\frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t} = f(x(t),t) \qquad \qquad (1)$

如果 $f$ 关于 $t$ 连续，并在 $U$ 中满足利普希茨条件，也就是说，

那么对于一个给定的初始条件： $x (t 0) = x 0$ ，其中 $t_0 \in I$ 、 $x_0 \in U$ ，微分方程（1）存在一个解 $(J, x (t))$ ，其中 $J \subset I$ 是一个包含 $t 0$ 的区间， $x (t)$ 是一个从 $J$ 射到 $U$ 的函数，满足初始条件和微分方程（1）。

局部唯一性：在包含点 $t 0$ 的足够小的 $J$ 区间上，微分方程（1）的解是唯一的（或者说，方程所有的解在足够小的区间上都是重叠的）。

这个定理有点像物理学中的决定论思想：当我们知道了一个系统的特性（微分方程）和在某一时刻系统的情况（ $x (t 0) = x 0$ ）时，下一刻的情况是唯一确定的。

[编辑] 局部定理的证明

一个简洁的证明思路为构造一个总是满足初始条件的函数递归序列 $y n + 1 = Φ(y n)$ ，使得 $\Phi^\prime (y_n) = f(y_n,t)$ ，这样，如果这个序列有一个收敛点 $y$ ，那么 $y$ 为函数 $Φ$ 的不动点，这时就有 $y^\prime = \Phi^\prime (y) = f(y,t)$ ，于是我们构造出了一个解 $y$ 。为此，我们从常数函数

$y_0(t)=x_0 \$ 开始。令

$\Phi(y_i)(t)=x_0+\int_{t_0}^{t}f(y_{i-1}(s),s)\,ds.$

这样构造出来的函数列 $(y_i)_{i \ge 0}$ 中的每个函数都满足初始条件。并且由于 $f$ 在 $U$ 中满足利普希茨条件，当区间足够小的时候， $Φ$ 成为一个收缩映射。根据完备空间的不动点存在定理，存在关于 $Φ$ 的稳定不动点，于是可知微分方程（1）的解存在。

由于收缩映射的局部稳定不动点只有一个，因此在足够小的区间内解是唯一的。

[编辑] 最大解定理

局部的柯西-利普希茨定理并没有说明在较大区域上解的情况。事实上，对于微分方程（1）的任意解 $\ (J,x(t))$ 、 $(J^\prime ,x^\prime(t))$ ，定义一个序关系： $\ (J,x(t))$ 小于 $(J^\prime ,x^\prime(t))$ 当且仅当 $J \subset J^\prime$ ，并且 $x^\prime(t)$ 在 $\ J$ 上的值与 $\ x(t)$ 一样。在这个定义之下，柯西-利普希茨定理断言，微分方程的最大解是唯一存在的。

[编辑] 证明思路

解的唯一性：假设有两个不同的最大解，那么由局部柯西-利普希茨定理可以证明其重叠部分的值相同，将两者不同的部分分别延伸在重叠部分上，则会得到一个更“大”的解（只需验证它满足微分方程），矛盾。因此解唯一。

解的存在性：证明需要用到佐恩引理，构造所有解的并集。

[编辑] 扩展至高阶常微分方程

对于一元的高阶常微分方程

$F \left( t,y(t),y^\prime (t) \cdots y^{(n-1)}(t) \right) =y^{(n)}(t) \qquad \qquad (2)$ ，

只需构造向量 $Y(t)=(y(t),y'(t),\ \dots,\ y^{(n-1)}(t))$ 和相应的映射 $\ \Phi$ ，就可以使得（2）变为 $Y^\prime (t) = \Phi(Y(t),t)$ 。这时的初始条件为 $Y (t 0) = Y 0$ ，即

$\begin{matrix} y(t_0)=y_0 \\ y^\prime (t_0)=y_1 \\ \vdots \\ y^{(n-1)}(t_0)=y_{n-1} \end{matrix}$

[编辑] 扩展至偏微分方程

对于偏微分方程，有柯西-利普希茨定理的扩展形式：柯西-克瓦列夫斯基定理，保证了偏微分方程的解的存在性和唯一性。

[编辑] 参见

常微分方程
柯西-克瓦列夫斯基定理
动力系统
初值問題
利普希茨条件
弗罗贝尼乌斯定理
皮亚诺存在性定理

[编辑] 参考资料

常微分方程（组）基本理论
M. E. Lindelöf, Sur l'application de la méthode des approximations successives aux équations différentielles ordinaires du premier ordre; Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Vol. 114, 1894, pp. 454-457. 网上版本可在 http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3074r/f454.table 找到 (文中林德洛夫讨论扩展了皮卡的一个早期证明)

[编辑] 相关链接

分类: 微分方程 | 数学定理

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