משפט ליוביל (אנליזה מרוכבת)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

באנליזה מרוכבת, משפט ליוביל אומר כי פונקציה מרוכבת שלמה (כלומר, פונקציה שהולומורפית בכל המישור המרוכב) וחסומה חייבת להיות קבועה.

בין שימושיו של משפט זה ניתן למנות הוכחה אלגנטית של המשפט היסודי של האלגברה והוכחה אלגנטית לכך שספקטרום של אופרטור איננו ריק.

[עריכה] הוכחה

הוכחת המשפט מבוססת על שימוש בנוסחת האינטגרל של קושי. באמצעות הנוסחה מעריכים את הנגזרת של הפונקציה בכל נקודה. בשל שלמות הפונקציה, ערך הנגזרת נתון על ידי אינטגרל סגור על מעגל סביב הנקודה שמחשבים את הנגזרת בה. ערך האינטגרל הולך וקטן כאשר מגדילים את רדיוס המעגל, וערך הנגזרת קטן מערך האינטגרלים על כל אחד מהמעגלים, ומכאן מסיקים כי בהכרח ערך הנגזרת הוא 0. מכיוון שערך הנגזרת של הפונקציה הוא 0 בכל נקודה, היא חייבת להיות קבועה.

על פי נוסחת קושי מתקיים: $f'(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\left|t-z\right|=R}\frac{f(t)dt}{(t-z)^2}$ .

נציב ערך מוחלט בשני האגפים:

$|f'(z)|=\left|\frac{1}{2\pi i}\oint_{\left|t-z\right|=R}\frac{f(t)dt}{(t-z)^2}\right|\le\frac{1}{2\pi}\oint_{\left|t-z\right|=R}\frac{|f(t)||dt|}{(|t-z|)^2}\le\frac{1}{2\pi}\oint_{\left|t-z\right|=R}\frac{M|dt|}{R^2}$ .

המעבר האחרון מוצדק בכך שהפונקציה שלנו חסומה, כלומר מתקיים $\ \left|f(z)\right|\le M$ לכל נקודה במישור עבור $\ M$ מסוים, ובכך שאנו לוקחים את האינטגרל על מעגל, ולכן מתקיים $\ |t-z|=R$ .

אינטגרל של פונקציה קבועה על מעגל שווה להיקפו, ולכן נקבל:

$\frac{1}{2\pi}\oint_{\left|t-z\right|=R}\frac{M|dt|}{R^2}=\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{M\cdot 2\pi R}{R^2}=\frac{M}{R}$ .

וזה נכון עבור כל מעגל שניקח סביב הנקודה $\ z$ , בגלל שהפונקציה הולומורפית בכל המישור.

לכן קיבלנו כי לכל $\ \epsilon>0$ קיים $\ R$ גדול דיו כך שיתקיים $\ |f'(z)|=\frac{M}{R}<\epsilon$ , ולכן בהכרח מתקיים $\ |f'(z)|=0$ , וזה מתקיים רק כאשר $\ f'(z)=0$ , וזה בדיוק מה שרצינו להוכיח.

[עריכה] הכללות

המשפט נכון גם עבור פונקציות הולומורפיות בכמה משתנים, כלומר - פונקציה הולומורפית בכמה משתנים אשר חסומה היא קבועה. הכללה נוספת היא שכל פונקציה הולומורפית על משטח רימן קומפקטי היא בהכרח קבועה (שכן מהקומפקטיות נובע שהפונקציה חסומה)

קטגוריות: אנליזה מרוכבת | משפטים מתמטיים

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

משפט ליוביל (אנליזה מרוכבת)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

[עריכה] הוכחה

[עריכה] הכללות

Views

ניווט

קהילה

חיפוש

שפות אחרות