משוואות קושי-רימן

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

באנליזה מרוכבת ואנליזה הרמונית, משוואות קושי-רימן הן צמד משוואות דיפרנציאליות חלקיות, שאותן מקיימים שני הרכיבים (הממשי והמרוכב) של כל פונקציה אנליטית מרוכבת. בכיוון ההפוך, אם הפונקציות הממשיות $\ u(x,y),v(x,y)$ הן דיפרנציאביליות ומקיימות את המשוואות, אז $\, f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$ היא פונקציה אנליטית. תנאי זה לאנליטיות של $\ f$ נקרא תנאי קושי-רימן.

[עריכה] ניסוח פורמלי

תהא $\ f(z)=f(x+iy)$ פונקציה מרוכבת, אז ניתן לכתוב אותה כסכום של שתי פונקציות ממשיות $\ u,v$ : $\ f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$ .

משוואות קושי-רימן הן שתי המשוואות הדיפרנציאליות הבאות:

$\ (1) \quad \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} \quad ,(2) \quad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$

[עריכה] תנאי קושי-רימן

תנאי קושי-רימן לגזירות מנוסח באופן הבא:
פונקציה $\ f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$ גזירה בנקודה $\ z_0=x_0 + iy_0$ אם ורק אם $\ u(x,y)$ ו- $\ v(x,y)$ דיפרנציאביליות בנקודה $\ z_0=(x_0,y_0)$ ומשוואות (1) ו-(2) לעיל מתקיימות עבור $\ (x_0,y_0)$ .

משוואות (1) ו-(2) לעיל נובעות למעשה, ממשוואת קושי-רימן ההומוגנית:

$\frac{\partial f}{\partial x} + i \frac{\partial f}{\partial y} = 0$

כך שאם נציב את $\ u, v$ במשוואה האחרונה, נקבל את המשוואות הקודמות. ניסוח זה נוח במיוחד כאשר רוצים לבדוק את קיום תנאי קושי-רימן אצל פונקציות שקשה להפריד אותן לחלק ממשי ולחלק מדומה, למשל: $\ f(z) = e^{\frac {1}{z}}$ .

כמו כן, אם נשתמש בקשרים $\ x=\frac{1}{2}(z+\bar{z}), y=\frac{1}{2i}(z-\bar{z})$ ונפעיל את כלל השרשרת על משוואת קושי-רימן ההומוגנית, נקבל את התנאי $\frac {\partial f}{\partial \bar{z}} = 0$ , שהוא בפני עצמו מעיד על אנליטיות של פונקציה. כלומר אם הנגזרת של f לפי z-צמוד מתאפסת רק בנקודות מסוימות, אנחנו כבר יודעים שהפונקציה f היא אנליטית אך ורק בנקודות אלה. בנוסף, אם $\ f=u+iv$ היא אנליטית, אז גם $\ g=-v+iu$ היא אנליטית. נשים לב שעם ההגדרה הנ"ל עבור $\ x,y$ אנו יכולים להגדיר את אופרטורי הגזירה הבאים:

$\ \frac{\partial}{\partial\bar{z}}=\frac{1}{2}(\frac{\partial}{\partial x}+i\frac{\partial}{\partial y}) \quad,\quad \frac{\partial}{\partial z}=\frac{1}{2}(\frac{\partial}{\partial x}-i\frac{\partial}{\partial y})$

ובדרך זו אנו מקבלים ביטוי לאופרטור לפלס בשני משתנים: $\ 4\frac{\partial ^2}{\partial z \partial\bar{z}}=\Delta$ .

כלומר, פונקציה מרוכבת המקיימת את משוואות קושי-רימן בנקודה מסוימת מקיימת את משוואת לפלס באותה נקודה.

ממשוואות קושי-רימן ניתן להסיק כי קווי הגובה של הפונקציות $\ u,v$ הם אורתוגונליים, כי המכפלה הסקלרית של הגרדיאנטים של $\ u,v$ מתאפסת:
$\nabla u \cdot \nabla v = u_x v_x + u_y v_y = - u_x u_y + u_y u_x = 0$

מהוכחת משוואות קושי-רימן ניתן גם לקבל את ערך הנגזרת של הפונקציה. בשל הקשר בין הנגזרות החלקיות שבא לידי ביטוי במשוואות קושי-רימן, די בשתיים מהנגזרות החלקיות כדי לבטא את הנגזרת בשלמותה. ביטוי אחד לנגזרת הוא $\ f'(z)=u_x+iv_x$ .
כמו כן, אם נתונה לנו למשל הפונקציה u והיא הרמונית בתחום מסוים, אז ניתן לקבל על ידי משוואות קושי-רימן את הפונקציה v, שתיקרא ההרמונית הצמודה של u, ולכן נוכל לקבל גם את הפונקציה f, שתהיה אנליטית בתחום ההרמוניות של u ו-v.

[עריכה] הוכחה

[עריכה] הוכחת הכרחיות

נוכיח כי אם פונקציה מרוכבת גזירה, אז היא מקיימת את משוואות קושי רימן.

תהא $\ f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ גזירה בנקודה $\ z_0$ . אז מתקיים $\ f'(z)=\lim_{\Delta z\rarr 0}\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}$ לכל כיוון שבו נבחר להשאיף את $\ \Delta z$ לנקודה $\ z_0$ .

בפרט יתקיים השוויון אם נבחר $\ \Delta z=\Delta x$ , כלומר אנו נעים כאשר קוארדינטת $\ y$ שלנו קבועה. כלומר מתקיים:

$\ f'(z)=\lim_{\Delta x\rarr 0}\frac{f(z_0+\Delta x)-f(z_0)}{\Delta x}=$

$= \lim_{\Delta x\rarr 0}\frac{u(x_0+\Delta x,y_0)-u(x_0,y_0)}{\Delta x}+\lim_{\Delta x\rarr 0}i\frac{v(x_0+\Delta x,y_0)-v(x_0,y_0)}{\Delta x}= u_x(x_0,y_0)+iv_x(x_0,y_0)$

כלומר, קיבלנו:

$\ f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}$ .

כמו כן יתקיים השוויון אם נבחר $\ \Delta z=i\Delta y$ , כלומר אנו נעים כאשר קוארדינטת $\ x$ שלנו קבועה. כלומר מתקיים:

$\ f'(z)=\lim_{\Delta y\rarr 0}\frac{f(z_0+\Delta y)-f(z_0)}{i\Delta y}=$

$= \lim_{\Delta y\rarr 0}\frac{u(x_0,y_0+\Delta y)-u(x_0,y_0)}{i\Delta y}+\lim_{\Delta y\rarr 0}i\frac{v(x_0,y_0+\Delta y)-v(x_0,y_0)}{i\Delta y}= -iu_y(x_0,y_0)+v_y(x_0,y_0)$