معادلات کوشی-ریمان

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد.

معادلات كوشی-ریمان در آنالیز مختلط كه به احترام آگوستین لوییز كوشی و برنارد ریمان نام گذاری شده‌اند، دو معادله‌ی مشتق جزئی هستند كه شرط لازم ولی نه كافی را برای هلومورفیك بودن یك تابع فراهم می‌كنند. با شرایط اضافی مانند اینكه بخش‌های حقیقی و موهومی تابع – توابع حقیقی $u$ و $v$ – مشتقات جزئی پیوسته داشته باشند، برقراری معادلات، معادل می‌شود با تحلیلی بودن تابع مختلط. این مجموعه از معادلات اولین بار در کارهای دالامبر در ۱۷۵۲ ظاهر شد. بعداً در ۱۷۷۷، اویلر این مجموعه را به توابع تحلیلی متصل کرد. کوشی این معادلات را برای ساخت تئوری توابع خود در ۱۸۱۴ به کار برد. رسالهٔ کوشی در مورد تئوری توابع در ۱۸۵۱ منتشر شد.

[ویرایش] شکل گیری

فرض کنید f(x + iy) = u + iv یک تابع از یک مجموعه باز از اعداد مختلط $\mathbb{C}$ به $\mathbb{C}$ باشد که در آن $x$ ، $y$ ، $u$ و $v$ حقیقی اند ( $u$ و $v$ توابع حقیقی-مقدار تعریف شده بر یک زیر مجموعه باز از $\mathbb{R}$ . آنگاه $f$ هلوموفیک است اگر و تنها اگر $u$ و $v$ به طور پیوسته مشتق پذیر باشند و مشتقات جزئی آنها در معادلات کوشی ریمان که

${ \partial u \over \partial x } = { \partial v \over \partial y }$

${ \partial u \over \partial y } = -{ \partial v \over \partial x } .$

هستند، صدق کنند. با یک فرمول بندی مختلط طبیعی، بینش هندسی بهتری بوجود می آید:

${ i { \partial f \over \partial x } } = { \partial f \over \partial y } .$

با توجه به معالات، اگر $u$ و $v$ دوبار مشتق پذیر باشند آنگاه مادامی که در معادلات لاپلاس صدق می کنند باید توابع همساز باشند. بنابراین معدلات می توانند به صورتی شرایطی بر روی یک جفت تابع همساز دیده شوند که بتوانند به عنوان بخش‌های حقیقی و موهومی یک تابع مختلط تحلیلی به کار روند. برای یک تابع داده شدهٔ همساز $u$ ، یک تابع همساز نظیر مانند $v$ ، یک همساز توأم نامیده می شود. اگر وجود داشته باشد، حداکثر یا یک عبارت ثابت منحصر بفرد است.

[ویرایش] مثال

فرض کنید مختلط $f$ بر روی مجموعه باز D تحلیلی باشد. آنگاه $f$ در معدلات کوشی-ریمان صدق می کند. یعنی اگر $f (x + i y) = u (x, y) + i v (x, y)$ آنگاه

${\partial u \over \partial x} = {\partial v \over \partial y}$ و ${\partial v \over \partial x} = - {\partial u \over \partial y}$ .

اکنون فرض کنید $\bar f$ نیز روی D تحلیلی است. آنگاه چون $\bar f(x + iy) = u(x, y) - iv(x, y)$ ، داریم :

${\partial u \over \partial x} = -{\partial v \over \partial y}$ و ${\partial v \over \partial x} = {\partial u \over \partial y}$ .

با ترکیب کردنشان با معادلات قبلی داریم :

${\partial u \over \partial x} = {\partial u \over \partial y} = {\partial v \over \partial x} ={\partial v \over \partial y} = 0$ .

این نشان می دهد که $f$ بر روی D به طور محلب ثابت است، و ثابت است اگر D همبند باشد.

[ویرایش] مشتق گیری

تابع f(z) = u(x, y) + i v(x, y) بر روی C را در نظر بگیرید. می خواهیم مشتق آن را در نقطهٔ z₀ محاسبه کنیم. می توانیم در جهت محور حقیقی به z₀ نزدیک شویم و یا در جهت محور موهومی. اگر از مسیر اول برویم:

$f'(z)\,$	$=\lim_{h\rightarrow 0} {f(z+h)-f(z) \over h}$
	$=\lim_{h\rightarrow 0}{u(x+h,y)+iv(x+h,y)-[u(x,y)+iv(x,y)]\over h}$
	$=\lim_{h\rightarrow 0}{[u(x+h,y)-u(x,y)]+i[v(x+h,y)-v(x,y)]\over h}$
	$=\lim_{h\rightarrow 0}{\left[\frac{u(x+h,y)-u(x,y)}{h}+i\frac{v(x+h,y)-v(x,y)}{h}\right]}.$

حالا این به شکل دو معادلهٔ دیفرانسیل است. بنابراین:

$f'(z)={\partial u \over \partial x} + i {\partial v \over \partial x}.$

با استفاده از مسیر دوم داریم:

$f'(z)\,$	$=\lim_{h\rightarrow 0} {f(z+ih)-f(z) \over ih}$
	$=\lim_{h\rightarrow 0}{u(x,y+h)+iv(x,y+h)-[u(x,y)+iv(x,y)]\over ih}$
	$=\lim_{h\rightarrow 0}{\left[\frac{u(x,y+h)-u(x,y)}{ih} +i\frac{v(x,y+h)-v(x,y)}{ih}\right]}$
	$=\lim_{h\rightarrow 0}{\left[-i\frac{u(x,y+h)-u(x,y)}{h}+\frac{v(x,y+h)-v(x,y)}{h}\right]}$
	$=\lim_{h\rightarrow 0}{\left[\frac{v(x,y+h)-v(x,y)}{h}-i\frac{u(x,y+h)-u(x,y)}{h}\right]}.$

مجدداً این نیز به شکل دو معادلهٔ دیفرانسیل است، بنابراین

$f'(z)={\partial v \over \partial y} - i {\partial u \over \partial y}.$

با برابر گرفتن این دو داریم

${\partial u \over \partial x} + i {\partial v \over \partial x} = {\partial v \over \partial y} - i {\partial u \over \partial y}.$

با برابر گرفتن بخش‌های حقیقی و موهومی، آنگاه

${\partial u \over \partial x} = {\partial v \over \partial y}$

${\partial u \over \partial y} = - {\partial v \over \partial x}. \quad\square$

[ویرایش] شکل دیگر

فرض کنید $z = x + i y$ برای متغیرهای حقیقی x و y. آنگاه می توانیم بنویسیم $x = (z + \bar z)/2$ و $y = (z - \bar z)/(2i)$ . اکنون x و y توابع حقیقی از متغیرهای مستقل مختلط $z$ و $\bar z$ هستند. با مشتقگیری از x و y:

${\partial x \over \partial z} = {1 \over 2}\ \mathrm{and}\ {\partial y \over \partial z} = {1 \over 2i}$

همینطور

${\partial x \over \partial \bar z} = {1 \over 2}\ \mathrm{and}\ {\partial y \over \partial \bar z} = -{1 \over 2i}.$

با مشتقگیری از تابع $f (x, y) = u (x, y) + i v (x, y)$ داریم:

${\partial f \over \partial z} = {\partial f \over \partial x}{\partial x \over \partial z} + {\partial f \over \partial y}{\partial y \over \partial z}\ \mathrm{and}\ {\partial f \over \partial \bar z} = {\partial f \over \partial x}{\partial x \over \partial \bar z} + {\partial f \over \partial y}{\partial y \over \partial \bar z}.$

نهایتا با جاگذاری:

${\partial f \over \partial z} = {1 \over 2}\left({\partial f \over \partial x} + {1 \over i}{\partial f \over \partial y}\right)\ \mathrm{and}\ {\partial f \over \partial \bar z} = {1 \over 2}\left({\partial f \over \partial x} - {1 \over i}{\partial f \over \partial y}\right).$