آنالیز مختلط

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد.

آنالیز مختلط یا نظریه توابع، نام مبحثی در ریاضیات است که خود را با توابع مشتق‌پذیر با مقادیر مختلط مشغول می‌کند.

فهرست مندرجات

۱ مفاهیم و قضیه‌های اساسی
۲ منابع

[ویرایش] مفاهیم و قضیه‌های اساسی

[ویرایش] تابع مختلط

تابعی است که هم دامنه تعریف آن و هم مقدار آن هردو مختلط باشند. به این ترتیب، یک تابع مختلط، تابعی از فضای $\mathbb{R}^{2}$ به فضای $\mathbb{R}^{2}$ می‌باشد.

[ویرایش] مشتق‌پذیری

به تابعی که مختلط مشتق‌پذیر باشد، تابع تحليلی یا تابع تمامريخت گفته می‌شود و آن زمانی است که حد زیر در دایره بازی، در اطراف نقطه $z 0$ وجود داشته باشد. در اینجا مسلما $z$ یک مقدار مختلط است.

$f'(z_0) = \lim_{z \rightarrow z_0} {f(z) - f(z_0) \over z - z_0 }$

تعریف بالا، هم ارز است با شرايط کوشی-ریمان که به راحتی از آن به دست می‌آید. $f(z)=u(z)+iv(z) ,\quad z=x+iy$ :

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \quad,\quad \frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x}$

[ویرایش] فرمول کوشی

فرمول انتگرال کوشی یا به طور بهتر قضیه کوشی، برای هر تابعی که بر روی محیط خاصی تحليلی باشد، صادق است:

$f(z) = \frac 1{2\pi i}\oint \frac{f(z')}{z'-z}dz'$

در اینجا، انتگرال مسیری، بر روی محیطی انجام می‌پذیرد که تابع در آن مشتق‌پذیر است.

[ویرایش] قضیه مانده‌ها

(انگلیسی: Residue theorem) به مقاله اصلی مراجعه شود.

[ویرایش] بسط دادن

بر خلاف، توابع حقیقی، بسط تیلور برای توابع تحليلی، همیشه امکان‌پذیر است. از این گذشته، در شرایط خاصی نیز می‌توان از بسط لورنتس در این تئوری استفاده کرد.

[ویرایش] منابع

Needham T., Visual Complex Analysis (Oxford, 1997).
Henrici P., Applied and Computational Complex Analysis (Wiley). [Three volumes: 1974, 1977, 1986.]

رده‌های صفحه: اعداد مختلط | آنالیز مختلط

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.