נוסחת אינטגרל קושי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

באנליזה מרוכבת, נוסחת האינטגרל של קושי היא נוסחה מרכזית, הנותנת תיאור של פונקציה הולומורפית בעיגול כלשהו ושל כל נגזרותיה באותו עיגול, באמצעות הערכים שהיא מקבלת על שפת העיגול.

את נוסחת האינטגרל של קושי מוכיחים באמצעות משפט אינטגרל קושי. מהוכחת הנוסחה נובע בין היתר כי כל פונקציה הולומורפית היא פונקציה אנליטית - בעלת אינסוף נגזרות וניתנת לפיתוח לטור חזקות. כמו כן נובעים ממנה משפטים חשובים דוגמת משפט ליוביל.

[עריכה] ניסוח פורמלי

תהא $\ U$ קבוצה פתוחה במישור המרוכב. תהא $\ f:U\rarr\mathbb{C}$ פונקציה הולומורפית ב- $\ U$ ויהא $\ D=\left\{z|\left|z-z_0\right|\le R\right\}$ עיגול המוכל בקבוצה $\ U$ , ונסמן ב- $\ \partial D$ את שפת העיגול. אזי מתקיימת הנוסחה הבאה:

$f(z_0) = {1 \over 2\pi i} \oint_{\partial D} {f(z) \over z-z_0}\, dz$

כאשר מגמת האינטגרל היא נגד כיוון השעון.

ניתן להרחיב את הנוסחה לכל הנגזרות של $\ f$ . באופן כללי מתקיים:

$f^{(n)}(z_0) = {n! \over 2\pi i} \oint_{\partial D} {f(z) \over (z-z_0)^{n+1}}\, dz$

למעשה, על פי משפט האינטגרל של קושי, המשפט תקף לא רק בעבור מעגלים אלא גם בעבור עקומים פשוטים סגורים כלשהם (כאשר הנקודה $\ z_0$ נמצאת בתוך התחום המוגדר על ידי המסילה). כמו כן, די לדרוש כי הפונקציה תהיה הולומורפית בתוך התחום, ורציפה בלבד על השפה.

מנוסחאות אלו ניתן להוכיח את משפט השאריות, שמהווה הכללה מרחיקת לכת שלהן.

[עריכה] הוכחה

נוכיח את הגרסה הבסיסית של המשפט, שממנה מסיקים את השאר:

$f(z_0) = {1 \over 2\pi i} \oint_{\partial D} {f(z) \over z-z_0}\, dz$

כדי לעשות זאת נשים לב כי על פי משפט אינטגרל קושי, איננו צריכים לחשב את האינטגרל על העקומה $\ \partial D$ אלא די לנו לחשב את האינטגרל על כל שפת מעגל סביב $\ z_0$ שהוא קטן דיו כדי שיוכל בקבוצה $\ U$ בה הפונקציה הולומורפית.

מכיוון ש- $\ f(z)$ הולומורפית היא בפרט רציפה, כלומר עבור $\ \varepsilon>0$ כלשהו קיים $\ r>0$ כך ש- $\ |f(z)-f(z_0)|<\varepsilon$ לכל $\ |z-z_0|\le r$ . כעת, על פי מה שאמרנו מתקיים $\ {1 \over 2\pi i} \oint_{\partial D} {f(z) \over z-z_0}\, dz={1 \over 2\pi i} \oint_{|z-z_0|=r} {f(z) \over z-z_0}\, dz$ .

כעת:

$\ {1 \over 2\pi i} \oint_{|z-z_0|=r} {f(z) \over z-z_0}\, dz= {1 \over 2\pi i} \oint_{|z-z_0|=r} {f(z)-f(z_0) \over z-z_0}\, dz+f(z_0)\cdot {1 \over 2\pi i} \oint_{|z-z_0|=r} {1 \over z-z_0}\, dz$ .

ראשית נחסום את האינטגרל השמאלי בסכום:

$\ \left|{1 \over 2\pi i} \oint_{|z-z_0|=r} {f(z)-f(z_0) \over z-z_0}\, dz\right|\le {1 \over 2\pi} \oint_{|z-z_0|=r} {\left|f(z)-f(z_0)\right| \over \left|z-z_0\right|}\, |dz|< \frac{\varepsilon}{2\pi r}\oint_{|z-z_0|=r}|dz|=\varepsilon$

כעת נחשב במדויק את האינטגרל הימני בסכום. תוך כדי כך נחשב גם את כל האינטגרלים הדומים לו, ונשיג תוצאה שימושית גם להוכחת משפט השאריות, שהוא הכללה של נוסחת אינטגרל קושי.

נרצה להשתמש בפרמטריזציה לחישוב האינטגרל $\ \oint_{|z-z_0|=r} {1 \over z-z_0}\, dz$ . נשים לב שזהו אינטגרל על מעגל ברדיוס $\ r$ סביב הנקודה $\ z_0$ . לכן נשתמש בפרמטריזציה $\ z=z_0+re^{i\theta}$ (המשתנה הוא הזווית $\ \theta$ ). בפרמטריזציה זו, $\ dz=ire^{i\theta}d\theta=i(z-z_0)d\theta$ , כלומר קיבלנו $\ \frac{dz}{z-z_0}=id\theta$ .

נקבל את האינטגרל: $\ \oint_{|z-z_0|=r} {1 \over z-z_0}\, dz=\int_0^{2\pi}id\theta=2\pi i$ . מכאן נובע $\ f(z_0)\cdot {1 \over 2\pi i} \oint_{|z-z_0|=r} {1 \over z-z_0}\, dz=f(z_0)$ .

כמו כן נשים לב שעל ידי אותו החישוב נקבל לחזקות שונות מ-1 ( $\ n\ne 1$ ).

$\ \oint_{|z-z_0|=r} {1 \over (z-z_0)^n}\, dz=\int_0^{2\pi}\frac{id\theta}{r^{n-1}e^{i\theta(n-1)}}=ir^{1-n}\int_0^{2\pi}e^{i\theta(1-n)}d\theta=ir^{1-n}\int_0^{2\pi}(\cos\theta(1-n)+i\sin\theta(1-n))d\theta=0$ .

בסיכומו של דבר, הראינו כי עבור $\ \varepsilon>0$ כלשהו מתקיים $\ \left|{1 \over 2\pi i} \oint_{\partial d} {f(z) \over z-z_0}\, dz-f(z_0)\right|= \left|{1 \over 2\pi i} \oint_{|z-z_0|=r} {f(z)-f(z_0) \over z-z_0}\, dz\right|<\varepsilon$ .