משטח רימן

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

הטורוס הוא דוגמה למשטח רימן פרבולי

במתמטיקה, ובמיוחד בגאומטריה ובאנליזה מרוכבת, משטח רימן הוא יריעה מרוכבת חד-ממדית, כלומר, אובייקט טופולוגי שהמבנה המקומי שלו הוא כזה של קבוצה פתוחה במישור המרוכב. למרות שלכל משטחי רימן אותו מבנה כשמתבוננים בסביבה הקרובה של נקודה, המבנה הטופולוגי הכללי יכול להיות מגוון מאוד. לדוגמה, משטח רימן יכול להיראות כמו ספירה או טורוס. המשטחים קרויים על-שמו של המתמטיקאי ברנרד רימן.

הרעיון המרכזי של התורה של משטחי רימן הוא שניתן להגדיר פונקציות הולומורפיות (או אנליטיות) בין שני משטחי רימן נתונים. משטחי רימן נחשבים כיום ל"מקום הטבעי" לחקר התכונות הגלובליות של פונקציות הולומורפיות, במיוחד פונקציות רב ערכיות, כמו פונקציית השורש, שאינה ניתנת להגדרה כפונקציה חד ערכית הולומורפית על המישור המרוכב כולו, אך ניתנת להגדרה כפונקציה רב ערכית.

כל משטח רימן הוא יריעה אנליטית דו-ממדית, אך הוא מכיל מבנה נוסף (אטלס הולומורפי). ניתן להוכיח שניתן להפוך יריעה אנליטית דו-ממדית למשטח רימן אם ורק אם היא אורינטבילית. לכן לדוגמה, הספירה והטורוס הם משטחי רימן, אך טבעת מביוס ובקבוק קליין אינם משטחי רימן.

תוכן עניינים

1 הגדרה פורמלית
- 1.1 ביהולומורפיות
- 1.2 משטח רימן
2 דוגמאות
3 תכונות והגדרות נוספות
- 3.1 משפט היונפורמיזציה ומיון בסיסי של משטחי רימן
4 פונקציות על משטחי רימן
- 4.1 פונקציות הולומורפיות
- 4.2 פונקציות מרומורפיות
  - 4.2.1 שדה הפונקציות המרומורפיות
5 הגנוס של משטח
6 מחלקים על משטח רימן
- 6.1 מחלק של פונקציה מרומורפית
7 ראו גם
8 לקריאה נוספת

[עריכה] הגדרה פורמלית

[עריכה] ביהולומורפיות

פונקציה מרוכבת $f\,$ תיקרא ביהולומורפית אם היא הולומורפית, חד חד ערכית, והפונקציה ההפוכה $f^{-1}\,$ אף היא הולומורפית. ניתן להוכיח שאם $f\,$ היא הולומורפית וחד חד ערכית אז היא ביהולומורפית.

[עריכה] משטח רימן

יהי $X\,$ מרחב האוסדורף קשיר. הומיאומורפיזם מקבוצה פתוחה $U \subseteq X$ לתת קבוצה פתוחה של המישור המרוכב $\mathbb{C}$ יקרא מפה. נניח כי $U,V \subseteq X$ קבוצות פתוחות, וכי נתונות שתי מפות $f:U \rightarrow \mathbb{C}$ ו- $g:V \rightarrow \mathbb{C}$ . נאמר ש- $f\,$ ו- $g\,$ תואמות הולומורפית אם הפונקציה $f\circ g^{-1}:g(U \cap V) \to f(U \cap V)$ היא ביהולומורפית. קבוצת מפות $A\,$ תיקרא אטלס הולומורפי (או פשוט אטלס) על $X\,$ אם לכל $p \in X$ קיימת מפה $f\,$ המוגדרת בסביבה של $p\,$ . הזוג $(X,A)\,$ יקרא משטח רימן, כאשר בדרך כלל נשמיט את סימון האטלס ונסמן את המשטח פשוט ב- $X\,$ .

[עריכה] דוגמאות

המישור המרוכב $\mathbb{C}$ הוא הדוגמה הפשוטה ביותר למשטח רימן. פונקציית הזהות $z \mapsto z$ מגדירה מפה (שהיא גם אטלס) על $\mathbb{C}$ . פונקציית הצמוד המרוכב $g(z) = \overline{z}$ אף היא מפה (שהיא גם אטלס) על $\mathbb{C}$ , אשר נותנת לו מבנה של משטח רימן. נשים לב כי $f\,$ ו- $g\,$ אינן מפות תואמות הולומורפית, ולכן אלו שני משטחי רימן שונים.
בצורה אנלוגית, כל קבוצה פתוחה $U \subseteq \mathbb{C}$ היא משטח רימן, כאשר פונקציית הזהות משמשת מפה בודדת עבור אטלס. באופן כללי יותר, כל תת קבוצה פתוחה של משטח רימן היא משטח רימן.
הספירה של רימן היא הדוגמה הפשוטה ביותר של משטח רימן קומפקטי: נגדיר $X = \mathbb{C} \cup \{\infty\}$ . תהי $f:X- \{\infty\}\rightarrow \mathbb{C}$ מוגדרת על ידי $z \mapsto z$ , ותהי $g:X- \{0\}\rightarrow \mathbb{C}$ מוגדרת על ידי $z \mapsto 1/z$ , כאשר נגדיר $1/\infty = 0$ . אז $f\,$ ו- $g\,$ הן מפות על $X\,$ , ו- $\{f,g\} \,$ הוא אטלס הולומורפי, הנותן ל- $X\,$ מבנה של משטח רימן קומפקטי. מבחינה טופולוגית ניתן להראות ש- $X\,$ הומיאומורפי לספירה.
כל עקום אליפטי מעל שדה המספרים המרוכבים הוא משטח רימן קומפקטי.

[עריכה] תכונות והגדרות נוספות

פונקציה $\,f:X \rightarrow Y$ בין שני משטחי רימן תיקרא הולומורפית אם לכל מפה $\ g$ של $\ X$ ולכל מפה $\ h$ של $\ Y$ הפונקציה $h \circ f \circ g^{-1}$ (שהיא פונקציה מרוכבת) היא הולומורפית.
שני משטחי רימן $\ X$ ו- $\ Y$ נקראים איזומורפיים אם קיימת פונקציה הולומורפית $\,f:X \rightarrow Y$ , כך ש $\,f$ היא חד חד ערכית, על, והפונקציה $\,f^{-1}:Y \rightarrow X$ אף היא הולומורפית (במקרה זה, כמו במקרה המרוכב, נאמר ש- $\,f$ ביהולומורפית). מעשית, שני משטחי רימן איזומורפיים הם זהים.

הספירה של רימן היא הדוגמה היחידה למשטח רימן אליפטי

[עריכה] משפט היונפורמיזציה ומיון בסיסי של משטחי רימן

על פי משפט היוניפורמיזציה, כל משטח רימן פשוט קשר איזומורפי לאחד משלושה משטחים:

$\mathbb{C}$ ,
הספירה של רימן $\ S^2$ , או
עיגול היחידה הפתוח $\{z \in \mathbb{C} : |z| <1 \}$ .

בנוסף, משפט היוניפורמיזציה קובע כי לכל משטח רימן קיימת מטריקה רימנית ממשית דו ממדית יחידה עם עקמומיות קבועה השווה לאפס (במקרה הראשון), 1 (במקרה השני) או $\ -1$ (במקרה השלישי). משטח בעל עקמומיות מינוס 1 נקרא משטח רימן היפרבולי. משטח רימן עם עקמומיות 0 נקרא פרבולי (למשל $\mathbb{C}$ , והטורוס). משטח עם עקמומיות 1 נקרא אליפטי.

החבורה היסודית של כל משטח רימן פרבולי איזומורפית לסריג מדרגה 2 ב- $\ \mathbb{C}$ . כמו כן, הכיסוי האוניברסלי של כל משטח כזה איזומורפי ל- $\ \mathbb{C}$ . ניתן לממש כל משטח כזה על ידי מרחב המנה $\mathbb{C} / \Gamma$ , כאשר $\ \Gamma$ הוא שריג. מבחינה טופולוגית מרחב המנה הומיאומורפי לטורוס.

החבורה היסודית של כל משטח רימן היפרבולי איזומורפית לחבורת פוקס. משטח כזה ניתן לממש על ידי מרחב המנה $\ H / \Gamma$ כאשר $\ H$ הוא חצי המישור העליון ו- $\ \Gamma$ היא חבורת פוקס (ראו גם גאומטריה היפרבולית).

משטח הרימן היחיד שהוא אליפטי (עד כדי איזומורפיזם) הוא הספירה של רימן.

[עריכה] פונקציות על משטחי רימן

[עריכה] פונקציות הולומורפיות

בהינתן משטח רימן $X\,$ , פונקציה $f:X \rightarrow \mathbb{C}$ תיקרא פונקציה הולומורפית על $X\,$ (מבלי לציין את הטווח). ניתן להראות שמשפט ליוביל תקף גם עבור פונקציות הולומורפיות על משטחי רימן, ולפיכך כל פונקציה הולומורפית על משטח רימן קומפקטי היא קבועה. לעומת זאת, על כל משטח רימן לא קומפקטי יש פונקציות הולומורפיות לא קבועות. אם $X\,$ משטח רימן שאינו קומפקטי ו- $x,y \in X$ שתי נקודות שונות, אז קיימת פונקציה הולומורפית $f\,$ על $X\,$ כך ש- $\,f(x) \ne f(y)$ . יריעה אנליטית שמקיימת תנאי זה נקראת יריעת סטיין. משפט השיכון ליריעות סטיין קובע שכל יריעת סטיין ממימד $n\,$ ניתנת לשיכון ביהולומורפי כתת קבוצה של $\mathbb{C}^{2n+1}$ , ולפיכך כל משטח רימן לא קומפקטי ניתן לשיכון ביהולומורפי כתת-קבוצה של $\mathbb{C}^3$ .

[עריכה] פונקציות מרומורפיות

ערך מורחב – קיומן של פונקציות מרומורפיות על משטח רימן קומפקטי

בהינתן קבוצה בדידה $S \subseteq X$ ופונקציה הולומורפית $f:X - S \rightarrow \mathbb{C}$ , אז $f\,$ תיקרא פונקציה מרומורפית. בפרט פונקציה הולומורפית היא מרומורפית. על משטח רימן קומפקטי פונקציה היא מרומורפית אם היא הולומורפית בכל נקודה פרט אולי למספר סופי של נקודות (בגלל הקומופקטיות כל קבוצה בדידה היא סופית). ממשפט רימן רוך נובע כי על כל משפט רימן קומפקטי קיימות פונקציות מרומורפיות שאינן קבועות. על משטח רימן שאינו קומפקטי, אפשר לכתוב כל פונקציה מרומורפית כמנה של שתי פונקציות הולומורפיות.

[עריכה] שדה הפונקציות המרומורפיות

אוסף הפונקציות המרומורפיות על משטח רימן מהווה שדה, המסומן ב- $\mathcal{M}(X)$ . נשים לב שכל פונקציה קבועה היא בוודאי מרומורפית, ולכן $\mathcal{M}(X)$ הוא שדה הרחבה של $\mathbb{C}$ . אם $X\,$ משטח רימן קומפקטי, ניתן להוכיח ש- $\mathcal{M}(X)$ הוא הרחבה של $\mathbb{C}$ ממעלה טרנסצנדנטית 1. שדה הפונקציות הרציונליות של משטח רימן קומפקטי קובע את המשטח עד כדי איזומורפיזם, כלומר אם $X\,$ ו- $Y\,$ הם שני משטחי רימן קומפקטים אז $X \cong Y$ (X איזומורפי ל Y) אם ורק אם $\mathcal{M}(X) \cong \mathcal{M}(Y)$ . במונחים של תורת הקטגוריות ניתן להראות שהקטגוריה של משטחי רימן קומפקטים (כאשר המורפיזמים הם פונקציות הולומורפיות) שקולה לקטגוריה של הרחבות שדה ממעלה טרנסצנדנטית 1 של שדה המספרים המרוכבים.

[עריכה] הגנוס של משטח

ניתן להוכיח שכל משטח אוריינטבילי קומפקטי הומיאומורפי לספירה אשר מחוברות אליה "ידיות". לפיכך, כל משטח רימן קומפקטי נראה מבחינה טופולוגית כמו ספירה עם ידיות. מספר ה"ידיות" נקרא הגנוס של המשטח ומסומן באות g. הגנוס של משטח רימן קומפקטי הוא תמיד סופי.נניח כעת כי X משטח רימן קומפקטי. נסמן ב $\,\mathcal{F}$ את אלומת הפונקציות המרומורפיות של X. ניתן להראות כי המימד של המרחב הווקטורי $\mathcal{H}^1 (X,F)$ (קוהומולוגיית צ'ך של אלומה זו) שווה לגנוס של המשטח, כלומר $\dim \mathcal{H}^1 (X,F) = g$ . משטח רימן הוא אליפטי (כלומר איזומורפי לספירה של רימן) אם ורק אם הגנוס שלו הוא 0. הוא פרבולי אם ורק אם הגנוס שלו הוא 1. משטח רימן עם גנוס 1 מהווה עקום אליפטי. כל משטח רימן עם גנוס גדול מ1 הוא היפרבולי.

[עריכה] מחלקים על משטח רימן

יהי $X\,$ משטח רימן. פונקציה $D:X \rightarrow \mathbb{Z}$ (כאשר $\mathbb{Z}$ - המספרים השלמים) תיקרא מחלק אם הקבוצה $\{p:D(p) \ne 0\}$ (נקראת התומך של D) היא קבוצה בדידה. בפרט, מחלק על משטח רימן קומפקטי ניתן לייצוג על ידי סכום סופי $\textstyle \sum_{k=1}^n a_i p_i$ כאשר $a_i \in \mathbb{Z}$ הוא מספר שלם ו $p_i \in X$ . לדוגמה, אם $X\,$ הוא הספירה של רימן אז הסכום $3 \cdot 0 + 2 \cdot \infty$ הוא המחלק על $X\,$ המתאים לנקודה 0 את הערך 3, לנקודת האינסוף את הערך 2, ולכל נקודה אחרת את הערך 0. ניתן לחבר שני מחלקים (על ידי חיבור הפונקציות המתאימות), ולפיכך אוסף המחלקים על משטח רימן מהווה חבורה אבלית. חבורת המחלקים על משטח רימן קומפקטי היא בדיוק החבורה החופשית הנוצרת על ידי הנקודות של $X\,$ . מחלק נקרא אפקטיבי אם הוא אי שלילי.

[עריכה] מחלק של פונקציה מרומורפית

תהי $\ f$ פונקציה מרומורפית שאינה הפונקציה הקבועה $\ 0$ על משטח רימן $\ X$ . ניתן להוכיח שלכל נקודה $p \in X$ קיים מספר שלם יחיד - $\ n$ , ומפה $g:U \to \mathbb{C}$ (כאשר $\ U$ סביבה של $\ p$ ), כך ש $\ g(p) =0$ וכך שמתקיים $\ f \circ g^{-1} (z) = z^n$ . אם $\ f$ הולומורפית ב- $\ p$ אז $\ n \ge 0$ , ו- $\ n>0$ אם ורק אם $\ f(z) = 0$ . אם $\ n<0$ נאמר של $\ f$ יש קוטב ב- $\ p$ מסדר $\ -n$ .

לכל פונקציה מרומורפית $\ f$ ניתן להגדיר מחלק $\ D$ באופן הבא: אם $\ f$ הולומורפית ב $\ p$ נגדיר $\ D(p) = n$ , כאשר $\ n$ הוא הסדר של $\ f$ בנקודה $\ p$ . אחרת, אם ל $\ f$ יש קוטב ב $\ p$ מסדר $\ n$ , נגדיר $\ D(p) = -n$ . את המחלק של פונקציה מרומורפית נהוג לסמן ב $\ (f)$ . מההגדרה נובע שפונקציה מרומורפית היא הולומורפית אם ורק אם המחלק שלה הוא אפקטיבי.

מחלק $\ D$ שקיימת פונקציה מרומורפית $\ f$ שהוא המחלק שלה נקרא מחלק ראשי. מכיוון ש - $(f\cdot g) = (f) + (g)$ ו- $\textstyle \left(\frac{1}{f}\right) = -(f)$ הרי שאוסף המחלקים הראשיים מהווה תת חבורה של חבורת המחלקים.

[עריכה] ראו גם

[עריכה] לקריאה נוספת

Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4
Algebraic curves and Riemann Surfaces - Rick Miranda, AMS press 1995
Otto Forster, Lectures on Riemann Surfaces (1981), Springer. ISBN 0-387-906171
רוג'ר פנרוז, The Road to Reality (2005), Knopf, ISBN 0-679-45443-8, (עמודים 135-138)

הערך משטח רימן באתר PlanetMath

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.