טבעת מביוס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

טבעת מביוס שהוכנה בעזרת מספריים ונייר דבק

טבעת מביוס (או רצועת מביוס) הינה צורה דו-ממדית שיש לה צד אחד בלבד. מבחינה מתמטית, זהו משטח עם שפה, שאינה ניתנת לכיוון. מלבד התפקיד החשוב של דוגמה זו בטופולוגיה של משטחים, טבעת מביוס נחשבת לקוריוז מתמטי עבור חובבים. הטבעת קרויה על שמו של המתמטיקאי והאסטרונום הגרמני אוגוסט פרדיננד מביוס.

[עריכה] תכונות של טבעת מביוס

ניתן לבנות טבעת מביוס באופן הבא: נוטלים סרט ארוך, מסובבים את אחד הקצוות מחצית הסיבוב, ואז מדביקים אותו לקצה השני. בניגוד לטבעת רגילה, שהשפה שלה כוללת שני מעגלים נפרדים, השפה של טבעת מביוס כוללת רק מעגל אחד: אם מעבירים אצבע לאורך השפה, משלימים את התנועה לאחר ביקור בכל נקודות השפה. טבעת רגילה אפשר לצבוע בשני צבעים באופן שהסביבה של כל נקודה אדומה תכלול רק נקודות אדומות, והסביבה של כל נקודה ירוקה תכלול רק נקודות ירוקות. בטבעת מביוס מעלל כזה הוא בלתי אפשרי.

אם נחתוך טבעת מביוס לאורכה, באמצע, נקבל טבעת עם ליפוף כפול, שלה יש שני צדדים, כמו לטבעת רגילה. אם נחתוך את הרצועה החדשה הזו, נקבל אמנם שתי רצועות רגילות, אך הן תהיינה משולבות אחת בתוך השנייה, מקופלות בצורת "8". אם, לעומת זאת, נחתוך טבעת מביוס לאורכה, ולא באמצע, תתקבלנה שתי טבעות, האחת טבעת מביוס, והשנייה, טבעת שאורכה כפול מטבעת המביוס בעלת ליפוף כפול.כלומר , אם מסמנים קו בשליש הרוחב (ולא באמצע) של טבעת מביוס וגוזרים לאורכו. המספריים נעים פעמיים מסביב לרצועה, אבל מבצעים רק חיתוך רצוף אחד. התוצאה הסופית של חיתוך זה היא שתי טבעות המשולבות זו בזו. האחת היא טבעת דו צדדית והאחרת היא טבעת מביוס.

שימוש מעשי בטבעת מביוס: ברצועות מביוס משתמשים במכרות הזהב בקולורדו; מאחר שרצועת מביוס היא בעלת צד אחד בלבד, היא משמשת להובלת עפרת הזהב ממעמקי המכרה כלפי מעלה.

[עריכה] תיאור מתמטי

את רצועת מביוס ניתן ליצור מהריבוע הבא, על ידי זיהוי השפה הימנית עם השפה השמאלית, והדבקתן זו עם זו כך שכיווני החצים יתלכדו. למשל: הנקודה (0,0) מזדהה עם הנקודה (1,1). ניתן לראות שהדבקה כזאת תגרום לפיתול של הרצועה סביב עצמה. דרך נוספת לבנות את טבעת מביוס הוא לפוצץ (Blow up) את המישור $\,\mathbb{R}^2$ בראשית הצירים.

[עריכה] החבורה היסודית

קטע החוצה את הריבוע שבאיור, במאוזן, לשני מלבנים שגובהם 0.5, הופך למעגל העתקת המנה המדביקה את הקצוות. מעגל זה הוא נסג עיוותי של הטבעת (ההטלה של כל נקודה (u,v) על הטבעת לנקודה (u,0.5) שעל המעגל, היא הסגה). משפט מוכר בטופולוגיה אלגברית, מבטיח לנו שהעתקת ההסגה במקרה של נסג עיוותי משרה שקילות הומוטופית, ולמרחבים שקולים הומוטופית יש אותה חבורה יסודית. משום כך, החבורה היסודית של טבעת מביוס היא החבורה היסודית של המעגל, דהיינו החבורה הציקלית האינסופית.