Teorema de Liouville (análisis complejo)

De Wikipedia, la enciclopedia libre

El Teorema de Liouville es uno de esos teoremas que nos habla de cuán distintas pueden llegar a ser las funciones diferenciables en una variable compleja de sus homólogas en una variable real.

Tabla de contenidos

1 Enunciado del Teorema
2 Demostración
3 Teorema de Liouville y Teorema fundamental del Álgebra
4 Consecuencias
- 4.1 Espectro de un operador
5 Notas

[editar] Enunciado del Teorema

Sea $f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$

una función entera^[1] y acotada, es decir existe $M > 0$ tal que

$|f(z)| < M\quad \forall z \in \mathbb{C},$

entonces resulta que $f$ es constante.

[editar] Demostración

La fórmula integral de Cauchy dice que

$f'(z) = \frac{1}{2\pi\,i}\oint_{|z-\zeta| = r}\frac{f(\zeta)}{(z-\zeta)^2}d\zeta.$

De modo que

$|f'(z)| \le \frac{1}{2\pi}\frac{M}{r^2}\,2\pi\,r = \frac{M}{r}.$

Como podemos elegir $r$ tan grande como querramos, concluimos que $f'(z) = 0$ para todo $z$ en $\mathbb{C}$ . Finalmente, como $f$ está definida sobre un conjunto simplemente conexo, entonces f debe ser constante.

[editar] Teorema de Liouville y Teorema fundamental del Álgebra

El teorema de Liouville entrega una demostración simple del Teorema fundamental del álgebra, es decir, de que todo polinomio no constante a coeficientes en $\mathbb{C}$ tiene una raíz en $\mathbb{C}$ . La demostración es la siguiente: Sea $P (z)$ un polinomio no constante, y supongamos que no tiene raíces. Luego, como todos los polinomios son funciones enteras, se tiene que $Q(z)=\frac{1}{P(z)}$ resulta ser también una función entera. Pero $lim_{z\rightarrow \infty} |P(z)|=\infty$ (eso siempre ocurre para polinomios no constantes), luego $lim_{z\rightarrow \infty} |Q(z)|=0$ , por lo que $Q$ resulta ser una función acotada. Luego, por el teorema de Liouville, $Q$ es una función constante, por lo que $P$ también lo será. Eso contradice nuestra hipótesis inicial, y se concluye que entonces $P$ debe tener una raíz. Notar que se sigue fácilmente que entonces $P$ tiene tantas raíces como su grado (contando multiplicidad), pues basta dividir cada vez $P$ por $(z - z 0)$ , donde $z 0$ es la raíz recién encontrada.

[editar] Consecuencias

[editar] Espectro de un operador

Una de las consecuencias interesantes del teorema de Liouville es que el espectro de un operador necesariamente es un conjunto no-vacío. Para verlo, veamos que el hecho de que fuera vacío contradice el teorema de Liouville. Si dicho espectro fuera vacío entonces la norma de la función resolvente:

$\rho:\mathbb{C} \longrightarrow \mathbb{C} \qquad \lambda \mapsto \rho_\lambda = \|(\lambda I - B)^{-1}\|$

Donde $B\;$ es un operador acotado de un espacio de Banach, estaría definida en todo el plano complejo y sería holomorfa y acotada. Y eso implica que la función sería constante por el teorema de Liouville. Y dado que: