Función holomorfa

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Las funciones holomorfas son el principal objeto de estudio del Análisis complejo; son funciones que se definen sobre un subconjunto abierto del plano complejo C y con valores en C, que además son complejo-diferenciables en cada punto. Esta condición es mucho más fuerte que la diferenciabilidad en caso real e implica que la función es infinitamente diferenciable y que puede ser descrita mediante su serie de Taylor. El término función analítica se usa a menudo en vez del de "función holomorfa", aunque el término de "analítico" tiene varios otros significados. Una función que sea holomorfa sobre todo el plano complejo se dice función entera. La frase "holomorfa en un punto a" significa no sólo diferenciable en a, sino diferenciable en todo un disco abierto centrado en a, en el plano complejo.

[editar] Definición

Si U es un conjunto abierto de C (ver espacio métrico para la definición de "abierto") y f : U -> C es una función, decimos que f es complejo-diferenciable en el punto z₀ de U si existe el siguiente límite

$f'(z_0) = \lim_{z \rightarrow z_0} {f(z) - f(z_0) \over z - z_0 }$

Este límite se toma aquí sobre todas las sucesiones de números complejos que se aproximen a z₀, y para todas esas sucesiones el cociente de diferencias tiene que dar el mismo número f '(z₀).

Intuitivamente, si f es complejo-diferenciable en z₀ y nos aproximamos al punto z₀ desde la dirección r, entonces las imágenes se acercarán al punto f(z₀) desde la dirección f '(z₀) r, donde el último producto es la multiplicación de números complejos. Este concepto de diferenciabilidad comparte varias propiedades con la diferenciabilidad en caso real: es lineal y obedece a las reglas de derivación del producto, del cociente y de la cadena.

Si f es complejo-diferenciable y las derivadas son continuas en cada punto z₀ en U, decimos que f es holomorfa en U.

Es claro que, al igual que en el caso real, si f es holomorfa -con inversa continua- entonces f^{-1} es holomorfa y su derivada vale 1/f'.

[editar] Ejemplos

Todas las funciones polinómicas en z con coeficientes complejos son holomorfas sobre C, y también lo son las funciones trigonométricas de z y la función exponencial. (Las funciones trigonométricas están de hecho relacionadas estrechamente con esta última y pueden definirse a partir de ella usando la fórmula de Euler). La rama principal de la función logaritmo es holomorfa sobre el conjunto C - {z ∈ R : z ≤ 0}. La función raíz cuadrada se puede definir como : $\sqrt{z} = e^{\frac{1}{2}\ln z}$ y es por tanto allá donde lo sea la función logaritmo ln(z). La función 1/z es holomorfa sobre {z : z ≠ 0}. Las funciones inversas trigonométricas tienen cortes y son holomorfas en todos los puntos excepto en estos cortes.

[editar] Propiedades

Ya que la diferenciación compleja es lineal y cumple las reglas del producto, del cociente y de la cadena, se tendrá que las sumas, productos, y composiciones de funciones holomorfas son también holomorfas, y el cociente de dos funciones holomorfas lo será allá donde el denominador sea distinto de cero.

Cada función holomorfa es infinitamente diferenciable en cada punto, y coincide con su propia serie de Taylor; esta serie convergerá sobre cada disco abierto que se encuentre dentro del dominio U. La serie de Taylor puede converger en un disco más grande; por ejemplo, la serie de Taylor para el logaritmo converge sobre cada disco que no contenga al 0, incluso en las cercanías de la línea real negativa. Ver demostración de que las funciones holomorfas son analíticas.

Si se identifica C con R², entonces las funciones holomorfas son las mismas que aquellas funciones de dos variables reales diferenciables y que cumplan las ecuaciones de Cauchy-Riemann, un par de ecuaciones diferenciales parciales.

Las funciones holomorfas son conformes cerca de los puntos con derivada distinta de cero, en el sentido de que preservan ángulos y la forma (pero no el tamaño) de las figuras pequeñas.

La fórmula integral de Cauchy dice que los valores, dentro de un disco, de una función holomorfa, quedan determinados por los valores de la función en la frontera del disco.