Laplace-Operator

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Der Laplace-Operator oder Deltaoperator Δ ist in der mehrdimensionalen Analysis ein wichtiger Differentialoperator, der die Summe der reinen zweiten partiellen Ableitungen einer Funktion von mehreren Variablen ermittelt. Er ist benannt nach Pierre-Simon Laplace.

Der Laplace-Operator erscheint beispielsweise in vielen Wellengleichungen und bei der Beschreibung von Diffusionsvorgängen.

Inhaltsverzeichnis

1 Allgemeines
2 Laplace-Operator in einer Dimension
3 Laplace-Operator in zwei Dimensionen
4 Laplace-Operator in drei Dimensionen
5 Bemerkungen
6 Eigenschaften
7 Diskreter Laplace-Operator und Bildverarbeitung
8 Laplace-Beltrami-Operator
9 Literatur

[Bearbeiten] Allgemeines

Wir definieren den Laplace-Operator allgemein:

für Skalarfelder:

$\Delta f = \operatorname{div}\left(\operatorname{grad}\,f\right)$

für Vektorfelder:

$\Delta\vec A = \operatorname{grad}\left(\operatorname{div}\,\vec A \right) - \operatorname{rot}\left( \operatorname{rot}\,\vec A \right)$

Durch die Invarianz der Begriffe div, rot und grad, siehe Divergenz, Rotation und Gradient, ist diese Definition vom gewählten kartesischen Koordinatensystem unabhängig.

Wird der Laplace-Operator auf ein Skalarfeld angewandt, liefert er als Ergebnis ein Skalarfeld. Bei der Anwendung auf ein Vektorfeld ist das Ergebnis ein Vektorfeld.

Für den Fall von n kartesischen Koordinatenvektoren gilt

$\Delta=\vec\nabla^2= \sum_{k=1}^n {\partial^2\over \partial x_k^2}.$

Dabei ist $\vec\nabla$ der Nabla-Operator.

Die Darstellung des Laplace-Operators in anderen Koordinatensystemen unterscheidet sich von der in kartesischen Koordinaten. Zu ihrer Berechnung geht man normalerweise von der Formel für kartesische Koordinaten aus, die dann in die jeweiligen Räume transformiert wird.

[Bearbeiten] Laplace-Operator in einer Dimension

In einer Dimension reduziert sich der Laplace-Operator auf die zweite Ableitung. Für eine Funktion $f (x)$ mit einer Variablen lässt sich also rein formal die folgende Gleichung aufschreiben.

$\Delta f(x) = \frac{d^2 f(x)}{dx^2}$ .

[Bearbeiten] Laplace-Operator in zwei Dimensionen

Für eine Funktion $f (x, y)$ mit zwei Variablen ergibt die Anwendung des Laplace-Operators in kartesischen Koordinaten

$\Delta f(x,y) = \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial y^2}$

In Polarkoordinaten ergibt sich mit $f (r,φ)$

$\Delta f(r, \phi ) = \frac{\partial^2 f}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2}$

oder

$\Delta f(r, \phi ) = \frac{1}{r}\cdot\frac{\partial}{\partial r} \left( r\cdot\frac{\partial f}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2}$

[Bearbeiten] Laplace-Operator in drei Dimensionen

Für eine Funktion $f (x, y, z)$ mit drei Variablen ergibt sich

in kartesischen Koordinaten

$\Delta f(x,y,z) = \frac{\partial^2 f(x,y,z)}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f(x,y,z)}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f(x,y,z)}{\partial z^2}$

in Zylinderkoordinaten mit $f (ρ,φ, z)$

$\Delta f ( \rho , \phi , z ) = \frac{1}{\rho} \cdot\frac{\partial}{\partial \rho} \left( \rho\cdot\frac{\partial f}{\partial \rho} \right) + \frac{1}{\rho^2}\cdot\frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}$

in Kugelkoordinaten mit $f ( r , \vartheta , \phi )$

$\Delta f ( r , \vartheta , \phi ) = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \cdot \frac{\partial f}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2 \sin \vartheta} \cdot \frac{\partial}{\partial \vartheta} \left(\sin\vartheta \cdot \frac{\partial f}{\partial \vartheta} \right) + \frac{1}{r^2 \sin^2\vartheta} \cdot \frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2}$

(Anstelle des ersten Terms hinter dem Gleichheitszeichen kann man auch schreiben: $\frac{1}{r}\cdot \frac{\partial^2}{\partial r^2}(r\cdot f)$ oder auch $(\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\cdot\frac{\partial}{\partial r})f$ )

Die Greensche Funktion des Laplace-Operators hat die Form:

$G_{\Delta}(x, x') = -\frac{1}{4\pi\|x-x'\|} + F(x,x')$ mit $Δ F (x, x') = 0$ .

Es gilt dann: $Δ G Δ (x, x') = δ(x - x')$ mit der Delta-Distribution $δ$ . Die Greensche Funktion wird in der Elektrodynamik als Hilfsmittel zur Lösung von Randwertproblemen benötigt.

[Bearbeiten] Bemerkungen

Der Laplace-Operator tritt beispielsweise in der Laplace-Gleichung

$\Delta\varphi = 0$

auf. Zweimal stetig differenzierbare Lösungen dieser Gleichung heißen harmonische Funktionen.

Da die Hesse-Matrix die Matrix aller zweiten, partiellen Ableitungen ist, ist der Laplace-Operator gerade die Spur der Hesse-Matrix.

Im englischsprachigen Raum und folglich auch in der englischsprachigen Literatur wird der Laplace-Operator normalerweise nicht mit dem Symbol $Δ$ bezeichnet. Stattdessen wird die Schreibweise $\nabla^2$ benutzt.

Der Laplace-Operator ergibt zusammen mit der zweiten Zeitableitung den d'Alembert-Operator:

$\square = \frac{1}{c^2} \frac{\partial ^2}{\partial t^2}- \Delta$

Dieser Operator kann als eine Verallgemeinerung des Laplace-Operators $Δ$ auf den Minkowski-Raum betrachtet werden.

[Bearbeiten] Eigenschaften

Der Laplace-Operator ist rotationssymmetrisch, das heißt, ist $f$ eine zweimal differenzierbare Funktion und $R$ eine Rotationsmatrix, so gilt

$\left( \Delta f \right)\circ R=\Delta\left(f\circ R\right)$ ,

wobei „ $\circ$ “ für die Verkettung von Funktionen steht.

Siehe auch: Gradient, Divergenz und Rotation.

[Bearbeiten] Diskreter Laplace-Operator und Bildverarbeitung

Hauptartikel: Laplacefilter

In der Bildverarbeitung wird der Laplace-Operator zur Kantendetektion eingesetzt. Eine Kante taucht als Nulldurchgang der zweiten Ableitung des Signals auf. Auf ein diskretes Signal g_n bzw. g_nm wird der Laplace-Operator über eine Faltung angewendet. Dabei kann man folgende einfache Faltungsmasken verwenden:

1D-Filter: $\vec{D}^2_x=\begin{bmatrix}1 & -2 & 1\end{bmatrix}$

2D-Filter: $\mathbf{D}^2_{xy}=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0\\1 & -4 & 1\\0 & 1 & 0\end{bmatrix}$

Für das 2D-Filter gibt es noch eine zweite Variante:

2D-Filter: $\mathbf{D}^2_{xy}=\begin{bmatrix}1 & 1 & 1\\1 & -8 & 1\\1 & 1 & 1\end{bmatrix}$

Diese Faltungsmasken erhält man durch die Diskretisierung der Differenzenquotienten.

[Bearbeiten] Laplace-Beltrami-Operator

Für den Laplace-Operator, der ursprünglich stets als Operator des euklidischen Raumes verstanden wurde, gab es mit der Formulierung der Riemannschen Geometrie die Möglichkeit der Verallgemeinerung auf gekrümmte Flächen und Riemannsche bzw. Pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeiten. Dieser allgemeinere Operator wird als Laplace-Beltrami-Operator bezeichnet. Er wird, wie der Laplace-Operator, als Divergenz des Gradientenfeldes definiert. Um den Laplace-Beltrami-Operator herzuleiten werden also verallgemeinerte Ausdrücke für die Divergenz und den Gradienten auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit benötigt.

Der Gradient einer skalaren Funktion auf einer Mannigfaltigkeit $f:M\rightarrow \mathbb{R}$ ist ein Vektorfeld auf $M$ , das mit Hilfe des Skalarprodukts $\,\langle\cdot,\cdot\rangle$ dadurch definiert ist, dass an jedem Punkt $x$ der Mannigfaltgkeit $M$ für alle Tangentialvektoren $\,v \in T_x M$ die Gleichung

$\langle \mbox{grad} f(x) , v \rangle = \mathrm d f(x)(v)$

gilt. Hierbei bezeichnet df(x) die Ableitung der Funktion f an der Stelle $x$ , aufgefasst als Linearform auf dem Tangentialraum. Die kontravarianten Komponenten des Gradienten können mit

$\left(\mbox{grad} f\right)^i = \partial^i f = g^{ij} \partial_j f$

berechnet werden. In dieser Formel wird die Einsteinsche Summenkonvention benutzt. Das bedeutet, dass über j von 1 bis n summiert wird. Die $g i j$ sind dabei die Komponenten der Inversen des metrischen Tensors $g i j$ . Es gilt also $g^{ij}g_{jk}=\delta^i_k$ . Dabei ist $\delta^i_k$ das Kronecker-Delta.

Die Divergenz eines Vektorfeldes X in einer Mannigfaltigkeit kann über die Lie-Ableitung $L X$ des Volumenelements entlang des Vektorfeldes X

$(\mbox{div} X) \; \mathrm{vol}_n := \mathcal{L}_X \mathrm{vol}_n$

definiert werden. Wenn $g$ für den metrischen Tensors der Mannigfaltigkeit steht, ist das Volumen-Element in lokalen Koordinaten durch:

$\mathrm{vol}_n := \sqrt{|g|} \;\mathrm dx^1\wedge \ldots \wedge \mathrm dx^n$

gegeben. Dabei ist $| g | : = | det g i j |$ der Betrag der Determinante des metrischen Tensors. Die $d x i$ sind die Kovektoren zu den Basisvektoren

$\partial_i := \frac {\partial}{\partial x^i}$

und bilden eine Basis des Dualraums des lokalen Koordinatensystems. $\, \wedge$ ist das Dachprodukt. In lokalen Koordinaten gilt also:

$\mbox{div} X = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \partial_i \left(\sqrt {|g|} X^i\right).$

Der Laplace-Beltrami-Operator schreibt sich damit in der Anwendung auf eine skalare Funktion f insgesamt als

$\Delta f = \mbox{div grad} \; f = \frac{1}{\sqrt {|g|}} \partial_i \left(\sqrt{|g|} \partial^i f\right)$ .

Unter Benutzung der Produkt- und Kettenregel lässt sich das auch in die folgende Formel umformen:

$\Delta f = \partial_i \partial^i f + (\partial^i f) \partial_i \ln \sqrt{|g|}$ .

Da im dreidimensionalen, euklidischen Raum mit kartesischen Koordinaten $| g | = 1$ gilt, ergibt sich $\Delta f = \partial_i \partial^i f$ was genau dem gewöhnlichen Laplace-Operator entspricht. Wird die Minkowski-Metrik mit Signatur (+,-,-,-) oder (-,+,+,+) benutzt, ergibt sich dagegen der D'Alembert-Operator.

Setzt man in der Formel für den Laplace-Beltrami-Operator die Darstellung des (euklidischen) metrischen Tensors in Polar-, Zylinder- oder Kugelkoordinaten ein, so erhält man die Darstellung des üblichen Laplace-Operators in diesen Koordinatensystemen, denn in Polar- und Zylinderkoordinaten gilt $| g | = r$ bzw. $| g | = ρ$ und in Kugelkoordinaten $| g | = r sinθ$ .

Neben der Darstellung mit Hilfe des Volumenelements gibt es auch eine Darstellung, die die Christoffel-Symbole verwendet:

$\Delta f = g^{ij}\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma_{ij}^k \frac{\partial f}{\partial x^k} \right)$ .

Mit der äußeren Ableitung d und der verallgemeinerten Divergenz lässt sich noch die folgende Identität auf Mannigfaltigkeiten formulieren und beweisen:

$\int_M \mathrm df(X) \;\mathrm{vol}_n = - \int_M f \mbox{div} X \;\mathrm{vol}_n$ .

Für geeignete Funktionen f und h gelten die Formeln:

$\int_M f\Delta h \;\mathrm{vol}_n = - \int_M \langle \mbox{grad} f, \mbox{grad} h \rangle \;\mathrm{vol}_n = \int_M h\Delta f \;\mathrm{vol}_n$ .

Der Laplace-deRham-Operator ist eine Verallgemeinerung des Laplace-Beltrami-Operators.

[Bearbeiten] Literatur

Otto Forster: Analysis 3. 3. Auflage, vieweg studium, 1984
Martin Schottenloher: Geometrie und Symmetrie in der Physik, vieweg Lehrbuch, 1995

Kategorien: Analysis | Bildverarbeitung

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