Operator Laplace'a

Z Wikipedii

Operator Laplace'a (laplasjan) – operator różniczkowy drugiego rzędu, szczególnie ważny element klasy operatorów eliptycznych. Jego nazwa pochodzi od nazwiska Pierre'a Simona de Laplace'a.

Znajduje on wiele zastosowań w modelach fizycznych, pojawiając się na przykład w równaniu przewodnictwa cieplnego, modelu propagacji fal, równaniu Helmholtza. W mechanice kwantowej występuje jako część hamiltonianu oraz jako przestrzenna składowa operatora d'Alemberta. W probabilistyce laplasjan jest generatorem ruchu Browna. Operator ten można zdefiniować za pomocą operatorów gradientu i dywergencji w tej kolejności.

$\triangle f = \operatorname{div}\ \overline{\operatorname{grad}}\ f$

W układzie kartezjańskim operator Laplace'a ma postać:

$\triangle = \nabla^2 = \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}$

Operator Laplace'a w dowolnym n-wymiarowym krzywoliniowym układzie współrzędnych:

$\triangle = \frac{1}{h_{1}...h_{n}} \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial}{\partial q_{i}}\frac{h_{1}...h_{n}}{h_{i}^{2}}\frac{\partial}{\partial q_{i}}\right)$

Gdzie:

q_i - i-ta współrzędna

h_i - współczynniki Lamego, h_i = ( g_ii )^1/2

g_ii to diagonalne wyrazy tensora metrycznego.

Operator Laplace'a na funkcję skalarną działa dokładnie tak jak można się spodziewać, tzn. daje sumę pochodnych cząstkowych argumentu. Dla funkcji wektorowej $\bar{F}$ natomiast działanie jest następujące:

$\triangle \bar{F} = \sum _{k=1} ^{n}(\triangle F_{k} ) \hat{e}_{k}$

Czyli też jest funkcją wektorową.

Laplasjan w sferycznym układzie współrzędnych:

$\triangle=\frac{1}{r^2}\left(\frac{\partial}{\partial r}r^2\frac{\partial}{\partial r} +\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta} \sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta} +\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2} \right) = \frac{1}{r}\frac{\partial^2}{\partial r^2}r +\frac{1}{r^2}\left(\operatorname{ctg}\theta\frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{\partial^2}{\partial \theta^2} +\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2} \right)$