Wellengleichung

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Als Wellengleichung bezeichnet man eine partielle Differentialgleichung, deren Lösungen die Ausbreitung von Wellen modellieren. Darüber hinaus ist sie (zusammen mit zahlreichen Varianten) als unabhängiger Forschungsgegenstand von Interesse.

Inhaltsverzeichnis

1 Homogene und inhomogene Wellengleichung
2 Lösungen der homogenen Wellengleichung in einer Dimension
- 2.1 Lösung mit speziellen Anfangsbedingungen
3 Die Wellengleichung in mehreren Dimensionen
4 Allgemeine Wellengleichung
5 Die Wellengleichung für elektromagnetische Wellen
6 Akustische Wellengleichung in Flüssigkeiten und Gasen
7 Wellengleichung eines elektrischen Felds
8 weitere Wellengleichungen
9 Einzelnachweise
10 Literatur

[Bearbeiten] Homogene und inhomogene Wellengleichung

Unter einer homogenen Wellengleichung versteht man eine lineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung für eine Funktion

u (x 1,..., x n, t)

im n-dimensionalen Raum der Form

$c^2 \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2} \right) - \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 0$ .

Die entstehenden Zustandsänderungen $\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}$ und die verursachenden Wellenzustände $\frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2}$ sind stets proportional, und zwar mit der Proportionalitätskonstanten $c 2$ . Wegen dieses linearen Zusammenhangs ist die homogene Wellengleichung eine lineare Gleichung. Wellen dieser Art überlagern sich ohne gegenseitige Beeinflussung und breiten sich in einem Medium in immer gleicher Weise aus – unabhängig von eventuell vorhandenen weiteren Wellen.

Unter einer inhomogenen Wellengleichung versteht man die Differentialgleichung, die man durch Ersetzen der rechten Seite der obigen Gleichung durch eine Funktion $v (x 1,..., x n, t)$ erhält.

$c^2 \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2} \right) - \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v(x_1, ..., x_n, t)$ .

Diese Wellengleichung ist eine im allgemeinen nichtlineare partielle Differentialgleichung vom hyperbolischen Typ.

Oft wird der Begriff "Wellengleichung" darüber hinaus auch auf andere lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung angewendet, deren Lösungen als Linearkombinationen ebener Wellen geschrieben werden können.

Die Funktion u kann dabei in die reellen oder komplexen Zahlen, aber auch auf Vektoren, Tensoren oder Spinoren abbilden.

[Bearbeiten] Lösungen der homogenen Wellengleichung in einer Dimension

Die homogene Wellengleichung in einer Dimension lautet

$c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}$

Eine Wellengleichung von dieser Form wird auch d'Alembert -Gleichung genannt.^[1]

Hierbei ist die Funktion u natürlich zweidimensional, aber üblicherweise wird t hier nicht mitgezählt. Sie hat als allgemeine Lösung

$u\left(x,t\right) = f(x + ct) + g(x - ct)$

mit beliebigen zweimal differenzierbaren Funktionen f(x) und g(x). Dabei beschreibt der erste Summand eine mit Geschwindigkeit c nach links laufende, der zweite Summand eine mit derselben Geschwindigkeit nach rechts laufende ebene Welle.

Mit Hilfe der Fouriertransformation lassen sich die Funktionen f und g als Linearkombination von Sinus-Funktionen oder auch komplexen Exponentialfunktionen schreiben, wobei diese Funktionen die Form

$u(x,t) = A\sin(k x \pm \omega t + \phi)$

bzw.

$u(x,t) = A\mathrm{e}^{\mathrm{i}(k x \pm \omega t)}$

haben (in der zweiten Schreibweise steckt die Phase $φ$ im komplexen Vorfaktor A), wobei

$\omega = k\cdot c\,$

die zugehörige Dispersionsrelation ist.

[Bearbeiten] Lösung mit speziellen Anfangsbedingungen

Sei also $u\left(x,t\right) = f(x + ct) + g(x - ct)$ die allgemeine Lösung der Wellengleichung und $u\left(x,0\right)=\phi (x)$ sowie $u_t\left(x,0\right)=\psi (x)$ zwei Anfangsbedingungen, dann folgt:

$u\left(x,0\right)=f(x)+g(x)=\phi(x)$

$u_t\left(x,0\right)=c\left(f'(x)-g'(x)\right)=\psi(x)$

Integration der zweiten Gleichung ergibt:

$f(x)-g(x)=\frac{1}{c}\int_{x_0}^x \psi(\xi)\,\mathrm{d}\xi,$

Durch Auflösen erhält man:

$f(x)=\frac{1}{2}\left(\phi(x)+\frac{1}{c}\int_{x_0}^x \psi(\xi)\,\mathrm{d}\xi\right)$

$g(x)=\frac{1}{2}\left(\phi(x)+\frac{1}{c}\int_x^{x_0} \psi(\xi)\,\mathrm{d}\xi\right)$

Die Lösung der Wellengleichung unter den obigen Anfangsbedingungen lautet demnach:

$u(x,t)=\frac{1}{2}\left(\phi(x+ct)+\phi(x-ct)+\frac{1}{c}\int_{x-ct}^{x+ct} \psi(\xi)\,\mathrm{d}\xi\right)$

[Bearbeiten] Die Wellengleichung in mehreren Dimensionen

In mehreren Dimensionen lässt sich die allgemeine Lösung nicht mehr so einfach hinschreiben, aber auch hier können alle Lösungen als Linearkombination der ebenen Wellen

$A\cos(\vec k\vec x \pm \omega t + \phi)$

bzw.

$u(\vec x,t) = A \mathrm{Re}\{\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\vec k \vec x \pm \omega t + \phi)}\}$

mit

$\omega = \left|\vec k\right| c$

geschrieben werden. Diese Wellen haben alle die Geschwindigkeit c und bewegen sich in Richtung von $\vec k$ .

[Bearbeiten] Allgemeine Wellengleichung

Im allgemeinen (4-dimensionalen) Fall lautet die Wellengleichung

$\left( \Delta - \frac {1}{c^2} \frac{\partial ^2}{\partial t^2} \right) u = 0$ .

Dabei ist $c$ die Ausbreitungsgeschwindigkeit und $Δ$ der Laplaceoperator.

Die Wellengleichung kann man mit dem d'Alembertoperator oder Quablaoperator ("Viereckoperator") vereinfacht als

$\Box u =0$ schreiben.

[Bearbeiten] Die Wellengleichung für elektromagnetische Wellen

[Bearbeiten] Die Herleitung der Wellengleichung aus der Telegraphengleichung

Die Herleitung der Wellengleichung findet unter Anwendung der maxwellschen Gleichungen in differentieller Form statt.

im folgenden gilt:

$\mu = \mu_r \cdot \mu_0$

$\epsilon = \epsilon_r \cdot \epsilon_0$

$c = \frac{1}{\sqrt{\mu \cdot \epsilon}}$ und im Falle

μ r = 1,ε r = 1

ist

c

die Vakuumlichtgeschwindigkeit.

$\kappa = \frac {1}{\rho}$ und entspricht der Leitfähigkeit (

ρ

ist jetzt spez. Widerstand)

mit $\mu_0 = 4 \cdot \pi \cdot 10^{-7}\mathrm{\frac{V\,s}{A\,m}}$ und $\epsilon_0 = 8{,}8542 \cdot 10^{-12}\mathrm{\frac{A\,s}{V\,m}}$

Herleitung der Telegraphengleichung, um daraus die Wellengleichung zu bestimmen.

$\nabla \times \vec E=-\frac{\part \vec B}{\partial t}$ (Maxwell'sche Gleichung)

$\nabla \times \vec E=-{\mu}\frac{\part}{\partial t} \vec H$

$\nabla \times (\nabla \times \vec E)=-{\mu}\frac{\part}{\partial t} \nabla \times \vec H$ und mit $\nabla \times \vec H = \vec J +\frac{\part \vec D}{\partial t}$ (Maxwell'sche Gleichung)

$\nabla \times (\nabla \times \vec E) = -{\mu}\frac{\part }{\partial t} \frac{\part \vec D}{\partial t}-\mu \frac{\part }{\partial t } \vec J$ nun mit $\vec J = \kappa \vec E$

$\nabla \times (\nabla \times \vec E)=-{\mu}\epsilon \frac{\part^2 }{\partial t^2} \vec E -\mu \kappa \frac{\part }{\partial t } \vec E$

$\nabla \times (\nabla \times \vec E)=-\frac{1}{c^2} \cdot \frac{\part^2 \vec E}{\partial t^2} -\frac{\kappa}{c^2 \epsilon} \frac{\part }{\partial t } \vec E$ (vgl. hier auch die Telegraphengleichung)

an dieser Stelle lassen sich mit Hilfe der Vektoranalysis bzw der Graßmann-Identität verschiedene Vereinfachungen vornehmen:

$\nabla \times (\nabla \times \vec E)$ auch bekannt als rot rot E, kann umgeschrieben werden zu

$\nabla \times (\nabla \times \vec E)=\nabla(\nabla \vec E) -(\nabla \nabla)\vec E .$

Und unter der Bedingung, dass gilt: $\nabla \vec E = 0$ (Maxwell: $\nabla \vec D= \rho$ und der Raumladungsdichte

ρ = 0

)

kann vereinfacht geschrieben werden:

$\nabla \times (\nabla \times \vec E)=-\nabla^2 \vec E$

Für einen metallischen Leiter gilt somit:

κ

ist groß. (dies entspricht einer hohen Leitfähigkeit)

In dem Falle ist die Raumladung

ρ

zu vernachlässigen (

ρ = 0

da sie mit der Zeitkonstanten $\tau= \frac{\epsilon}{\kappa}$ abklingt. (vergleiche auch die Elektrostatik)

mit

ρ = 0

und Maxwell: $\nabla \vec D= \rho$ folgt $\nabla \vec E = 0$ ,

womit aus der Telegraphengleichung die Diffusionsgleichung folgt:

$\nabla^2 \vec E =\frac{\kappa}{c^2 \epsilon} \frac{\part }{\partial t } \vec E$ oder $\nabla^2 \vec E =\kappa \mu \frac{\part }{\partial t } \vec E$

Für einen Isolator gilt im materiefreien Raum (näherungsweise auch Luft) allerdings:

Raumladungsdichte

ρ = 0

und mit

κ = 0

bzw. $\vec J = 0$

erhält man aus der Telegraphengleichung unmittelbar die Wellengleichung :

$\nabla^2 \vec E =\frac{1}{c^2} \cdot \frac{\part^2 \vec E}{\partial t^2}$ oder $\nabla^2 \vec E =\mu \epsilon \frac{\part^2 \vec E}{\partial t^2}$

[Bearbeiten] Wellengleichung für anisotrope Körper

In anisotropen Körpern ist die elektrische Feldstärke $\vec E$ und die elektrische Verschiebungsdichte $\vec D$ nicht mehr gleich gerichtet. Damit kann die dielektrische Funktion $\varepsilon$ , welche die beiden Formelgrößen verknüpft, nicht mehr als Skalar aufgefasst, sondern muss als Tensor zweiter Stufe behandelt werden. Wie sich eine elektromagnetische Welle im anisotropen Medium ausbreitet, lässt sich durch Lösen der Wellengleichung für anisotrope Körper berechnen:

$\varepsilon \cdot \vec{E} = n^2 (\vec E -\vec{k}(\vec E \cdot \vec k))$

Die Lösung dieser Gleichung ist Thema der Kristalloptik.

[Bearbeiten] Wellengleichung in kovarianter Formulierung

In der kovarianten Formulierung der Elektrodynamik lauten die inhomogenen Maxwellgleichungen:

$\partial_{\mu}F^{\mu\nu}=\frac{4\pi}{c}j^{\nu}$ ,

wobei $F^{\mu\nu}=\partial^{\mu}A^{\nu} - \partial^{\nu}A^{\mu}$ . In Lorenz-Eichung $\partial_{\mu}A^{\mu}=0$ ergibt sich:

$\partial_{\mu}F^{\mu\nu}=\partial_{\mu}(\partial^{\mu}A^{\nu} - \partial^{\nu}A^{\mu})=\partial_{\mu}\partial^{\mu}A^{\nu}-\partial^{\nu}\partial_{\mu}A^{\mu}=\partial_{\mu}\partial^{\mu}A^{\nu}= \frac{4\pi}{c}j^{\nu}$

Die Herleitung ist also im 4er-Formalismus um einiges einfacher. Die Wellengleichung lautet also (sie ist im Übrigen Lorentz-invariant, allerdings nicht Galilei-invariant):

$\partial_{\mu}\partial^{\mu}A^{\nu}=\frac{4\pi}{c}j^{\nu}$

[Bearbeiten] Akustische Wellengleichung in Flüssigkeiten und Gasen

Die akustische Wellengleichung wird aus dem Kern der Navier-Stokes-Gleichungen - der differentiellen Form des 2. Newtonschen Bewegungsgesetzes einer Potentialströmung - abgeleitet.

$-\operatorname{grad}\, p =-\nabla\, p=\rho_0 \frac{\part \vec{v}} {\part t}$

mit dem Druck $p$ , der Dichte $ρ$ und der Schallschnelle (Partikelgeschwindigkeit) $\vec{v}$ .

Die zweite Grundgleichung ist die Kontinuitätsgleichung

$\operatorname{div}\, \vec{v}= \nabla\cdot \vec{v}= -\frac 1 {\rho_0}\frac{\part \rho} {\part p}\frac{\part p} {\part t}= -\frac 1 {\rho_0 c^2}\frac{\part p} {\part t}$

mit der Schallgeschwindigkeit $c=\sqrt{\frac{\part p} {\part \rho}}$ .

Aus beiden Gleichungen zusammen folgt

$\operatorname{div}\, \operatorname{grad}\, p = \nabla \, \nabla\ p= \Delta\, p= -\rho_0\, \operatorname{div}\, \frac{\part \vec{v}} {\part t}= \frac 1 {c^2} \frac {\part ^2 p}{\part t^2}$ ,

die in der Form genau der elektromagnetischen Wellengleichung entspricht. Weil aber der Schalldruck $p$ anders als die elektrische Feldstärke $E$ eine skalare Größe ist, gibt es bei akustischen Wellen keine Polarisation.

[Bearbeiten] Wellengleichung eines elektrischen Felds

Wenn die Anstiegszeit von Schaltvorgängen die Größenordnung der Laufzeiten bzw. die Wellenlänge sinusförmiger Vorgänge die Größenordnung der linearen Abmessungen der Leiter erreichen, verlieren zeitlich veränderliche Felder ihren ortsfesten, quasistatischen Charakter. Die Felder lösen sich von den Leitern der Anordnung ab und breiten sich in Form elektromagnetischer Wellen in den Raum aus. Das Ausbreitungsvermögen liegt darin begründet, dass jedes aus einem veränderlichen Magnetfeld hervorgehende elektrische Feld eine etwas größere räumliche Ausdehnung besitzt als das jeweils vorhergehende verursachende Feld und damit auch der Abstand gegenüber der Erregung zunimmt. Analoges gilt für ein aus einem elektrischen Feld hervorgehende magnetische Feld.

Damit ergibt sich die Wellengleichung eines elektrischen Wirbelfeldes zu:

$\Delta E - \varepsilon \mu \frac {\delta^2 E} {\delta t^2} = 0$