Hypergeometrické rozdělení

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Hypergeometrické rozdělení pravděpodobnosti je příkladem diskrétního rozdělení pravděpodobnosti.

Hypergeometrické rozdělení je rozdělení náhodné veličiny, kdy při opakování náhodného pokusu je výskyt sledovaného jevu závislý na výsledcích předcházejících pokusů. Jde tedy o pokusy, které jsou na sobě závislé. Typickým představitelem je výběr prvků bez vracení. V takovém případě můžeme $N$ považovat za celkový počet prvků souboru a $M$ za počet prvků souboru, které mají sledovanou vlastnost. Počet prvků vybraných z tohoto souboru bez vracení je pak $n$ .

Obsah

1 Rozdělení pravděpodobnosti
2 Charakteristiky rozdělení
3 Vícerozměrné hypergeometrické rozdělení
- 3.1 Charakteristiky vícerozměrného rozdělení
4 Související články

[editovat] Rozdělení pravděpodobnosti

Hypergeometrické rozdělení pravděpodobnosti s parametry $N, M, n$ , kde $N$ a $M$ jsou přirozená čísla a $M < N$ a $n < N$ , je určeno předpisem

$P(X = x)= \frac{{M \choose x}{{N-M} \choose {n-x}}}{{N \choose n}}$ ,

pro $x = max(0, M - N + n),...,min(M, n)$ .

[editovat] Charakteristiky rozdělení

Střední hodnota hypergeometrického rozdělení je

$\operatorname{E}(X) = n\frac{M}{N}$

Rozptyl je

$\operatorname {D}(X) = \sigma^2(X) = n\frac{M}{N}\left(1-\frac{M}{N}\right)\frac{N-n}{N-1}$

Modus

$\hat x = \left\| \frac{(n+1)(M+1)}{N+2} \right\|$

Koeficient šikmosti

$\gamma_1 = \frac {(N-2M)(N-2n)\sqrt{(N-1)} }{(N-2)\sqrt{nM(N-M)(N-n)}}$

Koeficient špičatosti

$\gamma_2 = \left[\frac{N^2(N-1)}{n(N-2)(N-3)(N-n)}\right]\cdot\left[\frac{N(N+1)-6N(N-n)}{M(N-M)}+\frac{3n(N-n)(N+6)}{N^2}-6\right]$

Vzorce lze zjednodušit, když použijeme pomocné proměnné $p = \frac MN$ , $q = \frac {N-M}N$ a konečnostní násobitel $k = \frac {N-n}{N-1}$ , pak dostaneme charakteristiky

$\operatorname{E}(X) = np$

$\operatorname {D}(X) = npqk$

$\gamma_1 = \frac{q-p}{\sqrt{npqk} }(\frac{N-2n}{N-2})$

Již zde je patrná určitá podobnost s binomickým rozdělením. Pro malé výběry z velkých souborů bude $k \to 1$ , tudíž hypergeometrické rozdělení bude prakticky totožné s binomickým rozdělením.

[editovat] Vícerozměrné hypergeometrické rozdělení

Vícerozměrné hypergeometrické rozdělení je zobecněním rozdělení hypergeometrického.

Mějme soubor o rozsahu $N$ , který obsahuje $M i$ prvků se znakem $A i$ , pro $i = 1,2,..., s$ , přičemž $\sum_{i=1}^s M_i\leq N$ . Z tohoto souboru vybereme $n$ prvků bez vracení. Získáme náhodný vektor $\mathbf{X}$ , jehož složkami $X i$ , $i = 1,2,..., s$ , jsou počty vybraných prvků se sledovaným znakem $A i$ . Náhodný vektor $\mathbf{X}$ má právě vícerozměrné hypergeometrické rozdělení se sdruženou pravděpodobností

$P(x_1,x_2,...,x_s) = \left\{ \begin{matrix} \frac{{M_1 \choose x_1}{M_2 \choose x_2}\cdots{M_s \choose x_s}{{N - \sum_{i=1}^s M_i} \choose {n - \sum_{i=1}^s x_i}}}{{N \choose n}} & \mbox{ pro } x_i = \max(0,M_i-N+n),...,\min(M_i,n), \; \sum_{i=1}^s M_i\leq N, \; \sum_{i=1}^s x_i \leq n \\ 0 & \mbox{ jinak } \end{matrix}\right.$