超幾何分布

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超幾何分布（ちょうきかぶんぷ）は、離散型の確率分布である。母集団が $N\!$ 個の要素を持ち、ある属性を持つ要素がそのうち $M\!$ 個あるとする。この母集団から $k\!$ 個の要素を取り出したとき（非復元抽出）、その属性を持つ要素が $x\!$ 個含まれている確率が超幾何分布で表される。

[編集] 定義と性質

超幾何分布の確率関数は以下の式で定義される。

$P(X=x)=\frac{\binom{M}{x}\binom{N-M}{k-x} }{\binom{N}{k}}$

また確率の期待値は以下で表される。

$E(P(X))=\frac{kM}{N}$

$N\!$ が大きくなると、二項分布に近づいていく。また $N\!$ と $M\!$ の比が小さく、サンプル数( $k\!$ )が大きいとき、ポアソン分布に近づく。

[編集] 例

たとえば赤い玉10個と白い玉20個を混ぜた、計30個のものから5個の球を取りだすとき、赤い玉が一つだけである確率は

$\frac{\binom{10}{1}\binom{30-10}{5-1} }{\binom{30}{5}}=\frac{8075}{23751}\approx 0.34$

であり、何度も試行を行う場合の赤い玉の個数の期待値は

$\frac{5\times 10}{30}\approx 1.67$

である。

[編集] 参考文献

蓑谷千凰彦, 統計分布ハンドブック, 朝倉書店 (2003).
B. S. Everitt (清水良一訳), 統計科学辞典, 朝倉書店 (2002).
M. Galassi et al. (富永大介訳), GNU Scientific Library リファレンスマニュアル ver. 1.8, p. 199 (2006).