Hipoteza Goldbacha

Z Wikipedii

Hipoteza Goldbacha jest jednym z najstarszych nierozwiązanych problemów w teorii liczb, liczy sobie ponad 250 lat. W 1742 roku, w liście do Leonharda Eulera, Christian Goldbach postawił hipotezę, że

każda liczba naturalna większa niż 2 może być przedstawiona w postaci sumy trzech liczb pierwszych (ta sama liczba pierwsza może być użyta dwukrotnie).

Goldbach uznawał za pierwszą liczbę 1, konwencja ta nie jest już dłużej stosowana. Przy tym ograniczeniu hipotezę można przeformułować, przyjmując jej prawdziwość dla liczb naturalnych większych niż 5.

Euler po otrzymaniu listu stwierdził iż hipotezę Goldbacha można uprościć i przedstawić ją w następujący sposób:

każda liczba naturalna parzysta większa od 2 jest sumą dwóch liczb pierwszych

Powyższą hipotezę do dzisiaj nazywana "hipotezą Goldbacha" sformułował w rezultacie Euler, jednak nazwa nie została zmieniona. Jest to dosyć rzadkie zjawisko w świecie matematyków, w skutku którego hipotezę Goldbacha uważa się wyłącznie za dzieło jej imiennika.

Dzięki użyciu komputerów udało się pokazać, że hipoteza Goldbacha jest prawdziwa dla liczb naturalnych mniejszych niż 4 × 10¹⁷ (przez przedstawienie każdej z tych liczb w postaci sumy dwóch liczb pierwszych). Co więcej, większość współczesnych matematyków uważa, iż jest ona prawdziwa, ponieważ ze względu na stosunkowo gęsty rozkład liczb pierwszych wydaje się, że większe liczby parzyste coraz łatwiej jest przedstawić w postaci sumy dwóch liczb pierwszych.

Pomimo licznych prób oraz wysokich nagród finansowych ufundowanych za jej udowodnienie, hipoteza Goldbacha pozostaje do dnia dzisiejszego nierozstrzygnięta. Do chwili obecnej udowodniono jedynie, że każda parzysta liczba naturalna większa niż 2 może zostać przedstawiona jako suma co najwyżej sześciu liczb pierwszych, a także, że każda parzysta liczba naturalna większa niż 2 może zostać przedstawiona jako suma liczby pierwszej oraz liczby, która ma co najwyżej dwa czynniki pierwsze (Chen 1966). Wykazano, że zbiór liczb parzystych nie spełniających hipotezy Goldbacha ma gęstość 0 (tj. wraz ze wzrostem n odsetek liczb parzystych mniejszych od n, które nie spełniają hipotezy Goldbacha, dąży do 0). Bliska udowodnienia jest też tzw. słaba hipoteza Goldbacha, która głosi, że każdą liczbę nieparzystą większą od 7 można wyrazić jako sumę trzech nieparzystych liczb pierwszych. (Wiadomo, że ta hipoteza jest prawdziwa dla wszystkich liczb nieparzystych większych od około 10¹³⁴⁶ (Liu Ming-Chit, Wang Tian-Ze 2002); niestety podane ograniczenie wciąż nie umożliwia uzupełnienia dowodu przez komputerową analizę pozostałych przypadków.)