Leonhard Euler

Z Wikipedii

Leonhard Euler
Leonard Euler w wieku 49 lat (na podstawie olejnego portretu pędzla Emanuela Handmanna
Urodzony	15 kwietnia 1707 Bazylea
Zmarł	18 września 1783 Petersburg
Galeria w Wikimedia Commons
Teksty na Wikiźródłach
Kolekcja cytatów w Wikicytatach

Leonhard Euler (ur. 15 kwietnia 1707 w Bazylei, zm. 18 września 1783 w Petersburgu) – szwajcarski matematyk i fizyk; był pionierem w wielu obszarach obu tych nauk. Większą część życia spędził w Rosji i Prusach. Jest uważany za jednego z najbardziej produktywnych matematyków w historii matematyki^[1].

Dokonał licznych odkryć w tak różnych gałęziach matematyki jak rachunek różniczkowy i całkowy i teoria grafów. Wniósł duży wkład w rozwój terminologii i notacji matematycznej, szczególnie trwały w dziedzinie analizy matematycznej. Jako pierwszy w historii użył na przykład pojęcia i oznaczenia funkcji^[2]. Opublikował wiele ważnych prac z zakresu mechaniki, optyki i astronomii.

Euler jest uważany za czołowego matematyka XVIII wieku i jednego z najwybitniejszych w całej historii. Oto przypisywane Laplace'owi zdanie wyrażające wpływ Eulera na matematykę:

„

Czytajcie Eulera, czytajcie go – jest mistrzem nas wszystkich^[3].

”

Uczony ten należy do grona najbardziej twórczych – jego dzieła zapełniłyby 60-80 tomów kwarto^[4].

Podobizna Eulera widnieje na szwajcarskim banknocie^[5]10-frankowym szóstej serii; uczonego uwieczniono też na wielu szwajcarskich, niemieckich i rosyjskich (radzieckich) znaczkach pocztowych. Na jego cześć jedna z asteroid zyskała miano "2002 Euler".

[edytuj] Biografia

[edytuj] Dzieciństwo i młodość

Szwajcarski banknot 10-frankowy, na cześć Eulera, najznakomitszego szwajcarskiego matematyka w historii.

Leonard Euler urodził się w Bazylei w rodzinie Paula Eulera, pastora Kościoła Reformowanego^[6] (patrz: kalwinizm), i Marguerite Brucker, której ojciec był także pastorem. Miał dwie młodsze siostry: Annę Marię i Marię Magdalenę. Wkrótce po przyjściu syna na świat Eulerowie przenieśli się z Bazylei do pobliskiej miejscowości Riehen, gdzie Leonard spędził większą część dzieciństwa. Podstawową wiedzę, w tym matematyczną, przekazał swojemu synowi Paul Euler, który szykował Leonarda do stanu duchownego. Pastor Euler był przyjacielem rodziny Bernoullich, m.in. Johanna Bernoulliego, wówczas czołowego szwajcarskiego matematyka (wywarł on znaczący wpływ na życie Leonarda). Formalna edukacja Eulera rozpoczęła się w Bazylei, w tamtejszym gimnazjum łacińskim.

20 października 1720 roku, w wieku trzynastu lat, rozpoczął studia na Uniwersytecie Bazylejskim. Sobotnimi popołudniami brał prywatne lekcje u Johanna Bernoulliego, który szybko odkrył wielki talent matematyczny swojego ucznia^[7]. W roku 1723 młody Euler, przedłożywszy końcową rozprawę, w której porównywał systemy filozoficzne Kartezjusza i Newtona, otrzymał stopień magistra filozofii.

Od tego momentu, za namową ojca, który nadal widział w Leonardzie przyszłego pastora, rozpoczął studia nad teologią, greką i językiem hebrajskim. Pastor Euler zmienił zdanie co do zawodu Leonarda wskutek interwencji Johanna Bernoulliego; uczony przekonał go, że przeznaczeniem jego syna jest stać się wielkim matematykiem. W roku 1726 Euler ukończył swoją rozprawę doktorską na temat rozchodzenia się dźwięku, De Sono^[8]. W roku następnym stanął do corocznego konkursu o prestiżową, ufundowaną przez Francuską Akademię Nauk Wielką Nagrodę Akademii Paryskiej (ang. Paris Academy Prize Problem), ze swoim opracowaniem zagadnienia optymalnego rozmieszczenia okrętowych masztów. Zajął drugie miejsce, przegrywając jedynie z Piotrem Bouguerem znanym jako "ojciec nauki o architekturze okrętów". Łącznie, w ciągu całego życia Euler wygrywał tę doroczną nagrodę dwunastokrotnie^[9].

[edytuj] Petersburg

Kiedy Euler kończył studia, dwaj synowie Johanna Bernoulliego – Daniel i Mikołaj (II) – pracowali dla Petersburskiej Akademii Nauk. Gdy w lipcu 1726 roku Mikołaj po roku spędzonym w Rosji zmarł na zapalenie wyrostka robaczkowego, Daniel, objąwszy po bracie funkcję na wydziale matematyczno-fizycznym, zarekomendował Eulera na wakujące po swoim odejściu stanowisko na fizjologii. W listopadzie 1726 roku Euler zaakceptował tę ofertę, wstrzymał się jednak z wyjazdem do Rosji do wiosny roku następnego – starał się w tym czasie bez powodzenia o objęcie katedry fizyki na Uniwersytecie w Bazylei^[10].

Znaczek byłego Związku Radzieckiego wydany w 1957 r. dla uczczenia 250. rocznicy urodzin Eulera. Tekst mówi: 250 lat od urodzenia wielkiego matematyka i akademika, Leonarda Eulera.

Do stolicy Rosji Euler przybył 17 maja 1727 roku. Z posady na wydziale medycznym został awansowany na stanowisko na odpowiedniejszym dla niego wydziale matematycznym. Zamieszkał razem z Danielem Bernoullim, z którym poza tym często ściśle współpracował. Euler doskonalił swoją znajomość języka rosyjskiego i osiadł na dobre w petersburskim życiu; dodatkowo zaangażował się do pracy w służbie medycznej rosyjskiej marynarki wojennej^[11].

Akademia w Petersburgu, założona przez cara Piotra I (zwanego później Wielkim), stawiała sobie za zadanie poprawienie stanu edukacji w Rosji i zmniejszenie dystansu jaki w nauce dzielił ten kraj od zachodniej Europy. W związku z powyższym celem petersburska uczelnia stwarzała cudzoziemskim uczonym takim jak Euler szczególnie atrakcyjne warunki; źródła finansowania akademii były zasobne, jej biblioteka zaś – złożona z księgozbiorów samego Piotra I i rosyjskiej arystokracji – wszechstronnie zaopatrzona. A, jako że studentów na uczelni nie było zbyt wielu, uczeni nieobciążeni pracą dydaktyczną mogli się skupić na badaniach naukowych. Okolicznością im sprzyjającą była także zasada całkowitej swobody badań^[12].

W dniu przybycia Eulera do Petersburga zmarła dobrodziejka Akademii, wdowa po Piotrze I, jego następczyni na tronie – caryca Katarzyna I, która usiłowała kontynuować nowoczesne dzieło swego zmarłego męża. Z chwilą jej śmierci i nastaniem panowania dwunastoletniego Piotra II wzrosło znaczenie rosyjskiej arystokracji – wielce podejrzliwej w stosunku do cudzoziemskich naukowców; wydarzenia te były przyczyną cięć funduszy przeznaczonych dla akademii i licznych trudności, wobec których stanął Euler i jego koledzy z uczelni.

Warunki poprawiły się nieco po śmierci Piotra II; Euler przechodząc różne uczelniane stanowiska szybko awansował, by w 1731 roku zostać profesorem fizyki. Dwa lata później Daniel Bernoulli, który miał dosyć panującej w Rosji cenzury i wrogości, z którą spotykał się w Petersburgu, wrócił do Bazylei. Euler objął po nim wydział matematyki^[13].

7 stycznia 1734 r. ożenił się z Katarzyną Gsell, córką artysty malarza z petersburskiego gimnazjum, pochodzącą podobnie jak Euler z rodziny szwajcarskiej. Młodzi małżonkowie kupili dom nad Newą. Doczekali się w sumie trzynaściorga potomstwa, z których tylko pięcioro przeżyło lata dziecięce^[14].

[edytuj] Berlin

Znaczek byłej NRD, wydany dla uczczenia 200. rocznicy śmierci Eulera. Pośrodku – jeden ze wzorów Eulera.

Euler zaniepokojony przeciągającym się w Rosji wrzeniem rozważał opuszczenie Petersburga. W końcu zaakceptował złożoną jakiś czas wcześniej przez Fryderyka II Hohenzollerna propozycję przeniesienia się do Berlina i objęcia stanowiska w Pruskiej Akademii Nauk. Wyjechał z Petersburga 19 czerwca 1741 roku i przez 25 lat mieszkał w Berlinie. Tam napisał ponad 380 artykułów i opublikował dwie spośród swoich prac, które w największym stopniu rozsławiły jego imię. Były to: praca poświęcona funkcjom – Introductio in analysin infinitorum i dzieło dotyczące rachunku różniczkowego – Institutiones calculi differentialis^[15].

W czasie pobytu w Berlinie Euler został poproszony o udzielanie prywatnych lekcji księżniczce Anhalt-Dessau, siostrzenicy Fryderyka. Napisał do niej ponad 200 listów, co zaowocowało późniejszym wydaniem ich w formie drukowanej pod postacią bardzo dobrze się sprzedających Listów do księżniczki niemieckiej. Zawierają one przystępne Eulerowskie naświetlenie różnych tematów związanych z matematyką i fizyką, dają także – wartościowe z dzisiejszego punktu widzenia – wyobrażenie o osobowości uczonego i o jego poglądach na wiarę. Książka ta, czytana częściej niż którekolwiek z dzieł matematycznych Eulera, stała się – według dzisiejszej terminologii – bestsellerem; była szeroko znana – opublikowano ją w Europie i Stanach Zjednoczonych. Popularność Listów świadczy o rzadkiej wśród naukowców zajmujących się badaniami zdolności Eulera do przekazywania treści naukowych laikom.

Mimo ogromnego udziału Eulera w znacznym ówcześnie prestiżu Akademii, uczony został w końcu zmuszony do opuszczenia Berlina. Przyczyną był, przynajmniej częściowo, osobisty konflikt Eulera z Fryderykiem. Fryderyk z upływem czasu zaczął uważać Eulera za człowieka prostego, zwłaszcza gdy porównywał go do uczonych z kręgu filozofów, których on – król Prus – sprowadził do Akademii. Był wśród nich Wolter i to on cieszył się uprzywilejowaną pozycją w towarzystwie skupionym wokół króla. Euler, zwyczajny religijny człowiek, niewolniczo oddany swojej pracy, był bardzo konwencjonalny w swoich przekonaniach i gustach. Pod wieloma względami stanowił wprost przeciwieństwo Woltera. Jego przygotowanie retoryczne było bardzo ograniczone, przy tym miał skłonność do brania udziału w dyskusjach na tematy, w których nie był zbyt biegły, co czyniło z niego częsty cel dowcipów Woltera. Poza tym Fryderyk wyrażał niezadowolenie z praktycznych zdolności inżynierskich Eulera:

„

Chciałem mieć w moim ogrodzie silny strumień wody: Euler obliczył moc kół niezbędną do wzniesienia wody na poziom rezerwuaru, z którego miała się rozpływać kanałami, wytryskając w końcu w Sanssouci. Młyn został skonstruowany zgodnie z geometrycznymi planami, a nie był w stanie podnieść nawet kropli wody pięćdziesiąt kroków od zbiornika. Marność nad marnościami! Marność geometrii!^[16]

”

[edytuj] Pogorszanie się wzroku

Portret Eulera z roku 1753, autorstwa Emanuela Handmanna . Widać na nim zez i problemy Eulera z powieką prawego oka. Lewe oko wygląda na zdrowe, choć później zostało zniszczone przez kataraktę. Wzrok Eulera pogarszał się przez cały czas jego kariery matematyka^[17].

Trzy lata po przejściu niemal śmiertelnej gorączki, która dotknęła go w roku 1735 Euler prawie całkowicie stracił wzrok w prawym oku, ale obarczał winą za ten stan rzeczy swoją drobiazgową pracę kartografa, którą wykonywał dla Akademii Petersburskiej. Wzrok w tym oku pogorszył się Eulerowi w ciągu jego pobytu w Niemczech tak bardzo, że Fryderyk mawiał o nim "Cyklop". W późniejszym okresie Euler cierpiał na kataraktę w drugim, dotychczas zdrowym oku; doprowadziła go ona już w kilka tygodni po jej odkryciu do niemal całkowitej ślepoty. Mimo tych kłopotów zdrowotnych wydajność Eulera w jego pracy spadła tylko w niewielkim stopniu – kłopoty ze wzrokiem kompensował swoją fotograficzną pamięcią i umiejętnościami dokonywania obliczeń pamięciowych. Był na przykład zdolny do powtórzenia bez najmniejszego wahania słowo w słowo Eneidy Wergiliusza, co więcej: był w stanie wskazać jakim wersem zaczyna się i jakim kończy dowolna stronica tej książki^[4].

[edytuj] Ostatni etap życia

Grób Eulera w ławrze Aleksandra Newskiego

Sytuacja w Rosji poprawiła się po objęciu tronu przez Katarzynę II (1762) i w 1766 roku Euler zaakceptował zaproszenie do powrotu do Akademii w Petersburgu i w mieście tym spędził resztę życia. Na jego drugim pobycie w stolicy Rosji zaciążyły tragiczne wydarzenia; w 1771 roku pożar, który wybuchł w Petersburgu, strawił dom Eulera i jego samego kosztował niemal życie. Dwa lata później stracił żonę, z którą przeżył prawie 40 lat. Trzy lata po jej śmierci ożenił się ponownie.

18 września 1783 roku w Petersburgu Euler zmarł, doznawszy wylewu krwi do mózgu; pochowano go w ławrze Aleksandra Newskiego. Dorobek życia Eulera, wraz z listą jego prac, został opisany przez jego zięcia, Nicolausa von Fussa, sekretarza Cesarskiej Akademii Nauk i Sztuk Pięknych w Petersburgu. Pośmiertną mowę pochwalną na cześć Eulera skierowaną do Akademii Francuskiej napisał matematyk i filozof francuski markiz de Condorcet, który takimi słowami skomentował fakt śmierci Eulera:

„

…il cessa de calculer et de vivre – … przestał liczyć i przestał żyć

”

^[18]

[edytuj] Wkład do matematyki

Euler wniósł wkład do niemal wszystkich ówczesnych dziedzin matematyki – geometrii, rachunku różniczkowego i całkowego, trygonometrii, algebry, teorii liczb. W dziedzinie fizyki zajmował się m.in. ciałem stałym, w astronomii – teorią księżyca. Waga jego dokonań w matematyce nie może być przeceniona: gdyby wydać drukiem wszystkie jego dzieła, z których wiele ma fundamentalne znaczenie, zajęłyby od 60 do 80 woluminów oprawionych in quarto^[4]. Za jedynego matematyka równie płodnego może być uważany XX-wieczny uczony węgierski, Paul Erdős.

[edytuj] Notacja matematyczna

Euler, dzięki swoim licznym i szeroko rozpowszechnionym podręcznikom, zainicjował i spopularyzował kilka konwencji zapisu; w szczególności, wprowadził pojęcie funkcji i jako pierwszy zastosował zapis $f (x)$ dla oznaczenia funkcji $f$ argumentu $x$ ^[2]. Był też autorem nowoczesnego oznaczania funkcji trygonometrycznych, litery $e$ jako podstawy logarytmu naturalnego (obecnie znanej także jako liczba Eulera), zastosowania greckiej litery Σ dla oznaczania sumy i litery $i$ do wyrażenia jednostki urojonej. Użycie greckiej litery π dla oznaczenia stosunku obwodu okręgu do jego średnicy nie było wprawdzie jego autorstwa, ale zostało przez niego rozpropagowane^[19].

[edytuj] Analiza matematyczna

Rozwój rachunku różniczkowego był jednym z najważniejszych prądów badawczych matematyki XVIII wieku i to dzięki Bernoullim – rodzinie zaprzyjaźnionej z Eulerami – dokonał się na tym polu wielki postęp. Ich wpływ spowodował, że analiza znalazła się w centrum zainteresowań Eulera. Chociaż niektóre z przeprowadzonych przez niego dowodów są nie do zaakceptowania z punktu widzenia obecnych rygorów dowodzenia twierdzeń^[20], idee Eulera zapoczątkowały wielki postęp w tej dziedzinie.

Jest bardzo dobrze znany z częstego używania w analizie szeregów potęgowych; przyczynił się do ich znacznego rozwoju; był m.in. prekursorem wyrażania rozmaitych funkcji jako sumy nieskończenie wielu składników szeregu potęgowego, np.:

$e^x = \sum_{n=0}^\infty {x^n \over n!} = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{0!} + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}\right).$

W szczególności odkrył rozwinięcie za pomocą tego rodzaju szeregu funkcji arcus tangens i liczby $e$ . Jego odważne – choć, według obecnych standardów, technicznie niepoprawne – użycie szeregów potęgowych, umożliwiło mu w 1735 roku rozwiązanie słynnego problemu bazylejskiego^[20]:

$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{n^2}\right) = \frac{\pi ^2}{6}.$

Geometryczna interpretacja wzoru Eulera

Euler zaczął używać w dowodach analitycznych funkcji wykładniczej i logarytmów. Znalazł sposób ujmowania różnych funkcji logarytmicznych w postaci szeregów potęgowych; udało mu się również zdefiniować logarytm dla argumentów ujemnych i zespolonych, co znacznie rozszerzyło zakres ich zastosowania w matematyce^[21]. Euler zdefiniował też funkcję wykładniczą dla liczb zespolonych i odkrył relacje łączące ją z funkcjami trygonometrycznymi. Równość Eulera stwierdza, że dla dowolnej liczby rzeczywistej φ zespolona funkcja wykładnicza daje się wyrazić w postaci:

$e^{i\phi} = \cos \phi + i\sin \phi \,.$

Szczególnym przypadkiem powyższej równości jest tożsamość:

$e^{i \pi} +1 = 0 \,$

nazwana przez Richarda Feynmana "najniezwyklejszym wzorem w matematyce", który łączy w sobie znaki: dodawania, mnożenia, potęgowania, równości, a przy tym angażuje pięć najważniejszych stałych matematycznych: 0, 1, $e$ , $i$ oraz $π$ ^[22].

Euler opracował też teorię funkcji specjalnych, wprowadzając funkcję Г; zaproponował także nową metodę rozwiązywania równań czwartego stopnia. Znalazł sposób obliczania całek o granicach zespolonych, zapoczątkowując tym rozwój nowoczesnej analizy zespolonej. Dał początki rachunkowi wariacyjnemu z najbardziej znanym wynikiem tych rozważań – równaniem Eulera-Lagrange'a.

Euler był też pionierem użycia metod analitycznych w rozwiązywaniu problemów teorii liczb. Tym sposobem połączył w jedną nową dziedzinę analitycznej teorii liczb dwie zasadniczo odmienne gałęzie matematyki. Niejako przy okazji stworzył podwaliny pod teorię szeregów hipergeometrycznych, funkcji hiperbolicznych i analityczną teorię ułamków łańcuchowych. A oto przykład zastosowania przez niego metod analizy w teorii liczb: używając twierdzenia o rozbieżności szeregu harmonicznego dowiódł nie tylko, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele, ale także, że szereg ich odwrotności jest rozbieżny; użył też metod analizy dla zrozumienia w jaki sposób rozmieszczone są liczby pierwsze. Prace Eulera w tej dziedzinie doprowadziły do rozwoju twierdzenia o liczbach pierwszych^[23].

[edytuj] Teoria liczb

W wielkim zainteresowaniu, jakim Euler darzył teorię liczb, zauważalny jest wpływ znanego mu z akademii petersburskiej Krystiana Goldbacha. Wiele z wczesnych prac Eulera w tej dziedzinie matematyki bazowało na dokonaniach Piotra Fermata. Euler rozwinął niektóre z jego pomysłów podczas obalania co dziwaczniejszych pochodzących od Fermata hipotez.

Część prac Eulera motywowana była chęcią znalezienia związku między naturą rozkładu liczb pierwszych na osi liczbowej z ideami analizy matematycznej. Udowodnił, że suma odwrotności liczb pierwszych jest rozbieżna. Przy okazji odkrył związek między funkcją dzeta Riemanna i liczbami pierwszymi, znany jako wzór Eulera dla funkcji dzeta.

Euler udowodnił tożsamości Newtona (wzory rekurencyjne wiążące sumy potęg wszystkich pierwiastków wielomianu z jego współczynnikami), małe twierdzenie Fermata, twierdzenie Fermata o sumie dwóch kwadratów i wniósł znaczący wkład do twierdzenia Lagrange'a o sumie czterech kwadratów. Odkrył też funkcję funkcję φ (zw. funkcją φ Eulera), przyporządkowującą każdej dodatniej liczbie całkowitej $n$ liczbę mniejszą od $n$ , która informuje ile jest liczb względnie pierwszych z $n$ . Korzystając z właściwości tej funkcji Euler uogólnił małe twierdzenie Fermata w postaci znanej obecnie pod nazwą twierdzenia Eulera o liczbach względnie pierwszych. Miał też znaczący udział w zrozumieniu liczb doskonałych, które fascynowały matematyków od czasów Euklidesa. Duży postęp poczynił w kierunku twierdzenia o liczbach pierwszych i domyślał się istnienia prawa wzajemności reszt kwadratowych. Te dwa ostatnie pomysły są uważane za fundamentalne dla teorii liczb; utorowały drogę przyszłym pracom Karola Gaussa^[24].

Przed rokiem 1772 Euler dowiódł, że liczba 2³¹ − 1 = 2 147 483 647 jest liczbą pierwszą Mersenne'a. Pozostawała ona największą znaną liczbą pierwszą do roku 1867^[25].

[edytuj] Teoria grafów

Zobacz też: Zagadnienie mostów królewieckich.

Mapa Królewca z czasów Eulera ukazuje ówczesny układ siedmiu mostów (kolorami zaznaczone: mosty na Pregole i sama rzeka)

W roku 1736 Euler rozwiązał problem znany jako zagadnienie mostów królewieckich^[26]. Królewiec w Prusach (obecnie Kaliningrad w Rosji) leży nad rzeką Pregołą na dwóch dużych wyspach, które w czasach Eulera były połączone – wzajemnie ze sobą i ze stałym lądem – siedmioma mostami. Pytanie brzmiało: czy jest możliwe przejście wszystkich siedmiu mostów tylko jeden raz. Odpowiedź, którą znalazł Euler, brzmi: nie; Euler dowiódł, że tzw. ścieżka Eulera przebiegająca raz i tylko raz przez wszystkie krawędzie grafu istnieje tylko wtedy, gdy liczba węzłów o nieparzystej liczbie krawędzi jest równa 0 lub 2. Rozwiązanie tego problemu jest uważane za pierwsze twierdzenie teorii grafów^[26]. Euler wprowadził też oznaczenie znane dziś pod nazwą charakterystyki Eulera powierzchni i dodatkowo wzór pokazujący że dla dowolnego wielościanu wypukłego wynosi ona 2 (twierdzenie Eulera dla wielościanów). Studia nad tym wzorem – zwłaszcza Cauchy'ego^[27] i L'Huilliera^[28] – i jego uogólnienie to początki topologii.

[edytuj] Matematyka stosowana

Niektóre z największych sukcesów Eulera wiążą się z użyciem metod analizy matematycznej w rozwiązywaniu problemów realnego świata; opisał liczne zastosowania: liczb Bernoulliego, szeregów Fouriera, diagramów Venna, liczb Eulera (związanych z rozwinięciem w wzór Taylora funkcji sekans i sekans hiperboliczny), stałych – e i π, ułamków łańcuchowych i całek. Zintegrował rachunek różniczkowy Leibniza z metodą fluksji Newtona i rozwinął narzędzia, które ułatwiły obliczenia fizyczne. Uczynił wiele dla rozwoju całkowania numerycznego, odkrywając metodę znaną dzisiaj pod postacią aproksymacji Eulera. Godnymi uwagi w dziedzinie aproksymacji są: metoda Eulera i wzór Eulera-Maclaurina. Ułatwił też używanie równań różniczkowych, zwłaszcza przez wprowadzenie stałej Eulera-Mascheroniego (γ):

$\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left( 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{n} - \ln(n) \right).$

Jednym z najniezwyklejszych zainteresowań Eulera było stosowanie idei matematycznych w muzyce. W roku 1739 napisał Tentamen novae theoriae musicae, mając nadzieję zespolić teorię muzyki z matematyką. Ta część jego pracy nie spotkała się z nazbyt wielką uwagą – wręcz ujęcie to zostało nazwane kiedyś zbyt matematycznym dla muzyków i zbyt muzycznym dla matematyków^[29].

[edytuj] Fizyka i astronomia

Euler rozwinął model belki nazwany później modelem Bernoulliego-Eulera; stanowił on kamień węgielny nowoczesnej myśli inżynierskiej. Obok pomyślnego stosowania własnych narzędzi analitycznych w rozwiązywaniu problemów mechaniki klasycznej, Euler używał ich do rozwiązywania problemów astronomii sferycznej. Jego praca w dziedzinie astronomii znajdowała uznanie w paryskiej akademii, której nagrody wielokrotnie otrzymywał. Oto niektóre z astronomicznych osiągnięć Eulera: określanie z wielką dokładnością orbit komet i innych ciał niebieskich, wyjaśnienie natury komet i wyliczenie paralaksy Słońca. Jego obliczenia przyczyniły się do zwiększenia dokładności tabel długości geograficznej^[30].

Euler wniósł też ważny wkład do rozwoju optyki. W swojej pracy Optyka nie zgadzał się z ówcześnie obowiązującą korpuskularną teorią światła Newtona. Jego praca z roku 1740 w dziedzinie optyki sprawiła, iż falowa teoria światła zaproponowana przez Huygensa stała się dominującym paradygmatem aż do czasu rozwinięcia kwantowej teorii światła, łączącej obydwa te podejścia^[31].

[edytuj] Logika

Euler jest uznawany za autora użycia krzywych zamkniętych dla zilustrowania sylogistycznego rozumowania (1768). Diagramy te stały się znane pod nazwą diagramów Eulera^[32].

[edytuj] Poglądy filozoficzne i religijne

Euler i Daniel Bernoulli byli oponentami leibnizowskiego monadyzmu i filozofii Krystiana Wolffa. Euler niezmiennie trwał przy poglądzie, że wiedza jest oparta na fundamencie określonych, ścisłych ilościowych praw – był to pogląd, którego ani monadyzm, ani rozumowanie Wolffa nie przewidywały. Wpływ na taki stosunek Eulera do doktryny Wolffa miały zapewne sympatie religijne tego pierwszego; posunął się on do określenia pomysłów Wolffa jako "pogańskich i ateistycznych"^[33].

Wiele z poglądów Eulera na religię można wydedukować z Listów do księżniczki niemieckiej i jednej z jego wczesnych prac, Rettung der Göttlichen Offenbahrung Gegen die Einwürfe der Freygeister (Defense of the Divine Revelation against the Objections of the Freethinkers, w wolnym tłumaczeniu: Obrona Objawienia Bożego przed zarzutami wolnomyślicieli). Obie te pozycje prezentują Eulera jako zagorzałego chrześcijanina, zwolennika dosłownego traktowania tekstu Biblii ( Rettung... na przykład było pierwotnie używane jako argument za boskim pochodzenia Pisma Świętego)^[34].

Do sporów Eulera w kwestiach religii toczonych ze świeckimi filozofami nawiązuje anegdota z okresu drugiego pobytu Eulera w Petersburgu. Zdarzyło się, że w tym samym czasie przebywał w Rosji na zaproszenie Katarzyny II francuski filozof Denis Diderot. Cesarzowa zaalarmowana, że argumenty jej gościa za ateizmem wpływają na członków jej dworu, poprosiła Eulera o stanięcie do konfrontacji z Diderotem. Francuz został poinformowany, że uczony matematyk opracował dowód na istnienie Boga; Diderot zgodził się na publiczne zaprezentowanie tego dowodu przez Eulera przed cesarskim dworem. W ustalonym czasie Euler przybył, skierował swe kroki ku Francuzowi i, stanąwszy przed nim, tonem całkowitej pewności siebie oznajmił: "Panie, $\begin{matrix}\frac{a+b^n}{n}=x\end{matrix}$ , a więc – Bóg istnieje. Replikuj!". Diderot, dla którego cała matematyka była bzdurą (tak w każdym razie mówi ta historia), stał osłupiały, aż salwy śmiechu wybuchnęły wśród całego dworu. Zażenowany, poprosił o pozwolenie opuszczenia Rosji, na co cesarzowa łaskawie się zgodziła. W prawdziwość tej anegdoty należy wątpić, biorąc pod uwagę fakt, że Diderot był w rzeczywistości sprawnym matematykiem^[35].

[edytuj] Wybrane prace

The cover page of Euler's Methodus inveniendi lineas curvas.

Lista prac Eulera jest bardzo obszerna; poniżej niektóre z jego dzieł:

Elements of Algebra. Ten elementarny wykład algebry zaczyna się omówieniem natury liczb, po którym następuje skondensowany wstęp do algebry, zawierający m.in. formuły rozwiązywania równań wielomianowych.
Introductio in analysin infinitorum (1748). Tłumaczenie angielskie Johna Blantona: Introduction to Analysis of the Infinite (Book I, ISBN 0-387-96824-5, Springer-Verlag 1988; Book II, ISBN 0-387-97132-7, Springer-Verlag 1989).
Dwa znaczące podręczniki rachunku różniczkowego i całkowego: Institutiones calculi differentialis (1755) i Institutiones calculi integralis (1768–1770).
Lettres à une Princesse d'Allemagne (w j.ang. Letters to a German Princess, w j. polskim: Listy do księżniczki niemieckiej) (1768–1772); dostępne online (w j. francuskim). Tłumaczenie angielskie z uwagami Eulera i jego życiorysem dostępne online w Google Books: tom 1, tom 2
Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti (1744). Tłumaczenie znaczenia tytułu na j. angielski: a method for finding curved lines enjoying properties of maximum or minimum, or solution of isoperimetric problems in the broadest accepted sense^[36].

Pełna kolekcja dzieł Eulera zatytułowana Opera Omnia jest publikowana od roku 1911 przez Komisję Eulera Szwajcarskiej Akademii Nauk.

[edytuj] Zobacz też

Przypisy

↑ Stewart, J. et al. "Algebra and Trigonometry", Wadsworth Group, 2001. p.165.
↑ ^2,0 ^2,1 William Dunham: Euler: The Master of Us All. The Mathematical Association of America, 1999, s. 17.
↑ William Dunham: Euler: The Master of Us All. The Mathematical Association of America, 1999, ss. xiii. "Lisez Euler, lisez Euler, c'est notre maître à tous.".
↑ ^4,0 ^4,1 ^4,2 Finkel, B.F.. Biography- Leonard Euler. The American Mathematical Monthly. 1897, 4, 300.
↑ Swiss National Bank Website.
↑ Dan Graves: Scientists of Faith. Grand Rapids, MI: Kregel Resources, 1996, ss. 85–86.
↑ Ioan James: Remarkable Mathematicians: From Euler to von Neumann. Cambridge, 2002, s. 2. ISBN 0-521-52094-0.
↑ Translation of Euler's Ph.D in English by Ian Bruce.
↑ Calinger, Ronald. Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741). Historia Mathematica. 1996, nr 23, 156.
↑ Calinger, Ronald. Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741). Historia Mathematica. 1996, 23, 125.
↑ Calinger, Ronald. Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741). Historia Mathematica. 1996, 23, 127.
↑ Calinger, Ronald. Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741). Historia Mathematica. 1996, nr 23, 124.
↑ Calinger, Ronald. Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741). Historia Mathematica. 1996, 23, 128–129.
↑ Fuss, Nicolas: Eulogy of Euler by Fuss.
↑ Institutiones calculi differentialis.
↑ Fryderyk II Wielki: Letters of Voltaire and Frederick the Great, Letter H 7434, 25 January 1778. New York: Brentano's, 1927.
↑ Calinger, Ronald. Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741). Historia Mathematica. 1996, 23, 154–155.
↑ Marquis de Condorcet: Eulogy of Euler - Condorcet.
↑ Wolfram, Stephen: Mathematical Notation: Past and Future.
↑ ^20,0 ^20,1 Gerhard Wanner: Analysis by its history. Wyd. 1.. Springer, March 2005, s. 62.
↑ Carl B. Boyer: A History of Mathematics. John Wiley & Sons, ss. 439–445. ISBN 0-471-54397-7.
↑ rozdział 22: Algebra. W: Richard Feynman: The Feynman Lectures on Physics: Volume I. VI 1970, s. 10.
↑ 3,4. W: William Dunham: Euler: The Master of Us All. The Mathematical Association of America, 1999.
↑ 1,4. W: William Dunham: Euler: The Master of Us All. The Mathematical Association of America, 1999.
↑ Caldwell, Chris. The largest known prime by year
↑ ^26,0 ^26,1 Alexanderson, Gerald. Euler and Königsberg's bridges: a historical view. Bulletin of the American Mathematical Society. VII 2006.
↑ Cauchy, A.L.. Recherche sur les polyèdres—premier mémoire. Journal de l'Ecole Polytechnique. 1813, 9 (Cahier 16), 66-86.
↑ L'Huillier, S.-A.-J.. Mémoire sur la polyèdrométrie. Annales de Mathématiques. 1861, 3, 169-189.
↑ Calinger, Ronald. Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741). Historia Mathematica. 1996, 23, 144–145.
↑ Youschkevitch, A P; Biography in Dictionary of Scientific Biography (New York 1970–1990).
↑ Home, R.W.. Leonhard Euler's 'Anti-Newtonian' Theory of Light. Annals of Science, 45, 521–533. 1988.
↑ Baron, M. E.; A Note on The Historical Development of Logic Diagrams. The Mathematical Gazette: The Journal of the Mathematical Association. Vol LIII, no. 383 May 1969.
↑ Calinger, Ronald. Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741). Historia Mathematica. 1996, 23, 153–154.
↑ Euler, Leonhard. Rettung der Göttlichen Offenbahrung Gegen die Einwürfe der Freygeister. Leonhardi Euleri Opera Omnia (series 3). 1960, 12.
↑ Brown, B.H.. The Euler-Diderot Anecdote. The American Mathematical Monthly. 1942, 49, 302-303.
↑ E65 – Methodus… entry at Euler Archives

[edytuj] Bibliografia

Encyclopedia Britannica article
Dunham, William (1999). Euler: The Master of Us All, Washington: Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-328-0.
Heimpell, Hermann, Theodor Heuss, Benno Reifenberg (editors). 1956. Die großen Deutschen, volume 2, Berlin: Ullstein Verlag.
Krus, D.J. (2001) Is normal distribution due to Karl Gauss? Euler, his family of gamma functions, and place in history of statistics. Quality and Quantity: International Journal of Methodology, 35, 445-446.(Request reprint).
Nahin, Paul (2006). Dr. Euler's Fabulous Formula, New Jersey: Princeton, ISBN 978-0-691-11822-2
Leonhard Euler (1707-1783). W: ScienceWorld [on-line].
Simmons, J. (1996). The giant book of scientists: The 100 greatest minds of all time, Sydney: The Book Company.
Singh, Simon. (1997). Fermat's last theorem, Fourth Estate: New York, ISBN 1-85702-669-1
Lexikon der Naturwissenschaftler, Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg, 2000.
Thiele, Rüdiger. (2005). The mathematics and science of Leonhard Euler, in Mathematics and the Historian's Craft: The Kenneth O. May Lectures, G. Van Brummelen and M. Kinyon (eds.), CMS Books in Mathematics, Springer Verlag. ISBN 0-387-25284-3.
How Euler did it Website containing columns explaining how Euler solved various problems.
Gladyshev, Georgi, P. (2007). “Leonhard Euler’s methods and ideas live on in the thermodynamic hierarchical theory of biological evolution,” International Journal of Applied Mathematics & Statistics (IJAMAS), Special Issue on Leonhard Paul Euler’s: Mathematical Topics and Applications (M. T. A.), Vol. 11, Nu. N07, November, 2007.
(en) John J O'Connor; Edmund F. Robertson Leonhard Euler w MacTutor History of Mathematics archive