Congettura di Goldbach

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In matematica, la congettura di Goldbach è uno dei più vecchi problemi irrisolti nella teoria dei numeri. Essa afferma:

Ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi. (Lo stesso numero primo può essere usato due volte)

Per esempio,

  4 = 2 + 2

  6 = 3 + 3

  8 = 3 + 5

10 = 3 + 7 = 5 + 5

12 = 5 + 7

14 = 3 + 11 = 7 + 7

etc.

Indice 1 Origini 2 Risultati 3 Curiosità 4 Note 5 Bibliografia 6 Voci correlate 7 Collegamenti esterni

[modifica] Origini

Nel 1742, il matematico prussiano Christian Goldbach scrisse una lettera a Leonhard Euler in cui propose la seguente congettura:

Ogni numero dispari maggiore di 5 può essere scritto come somma di tre numeri primi.

Euler, interessandosi al problema, rispose con una versione più forte della congettura:

Ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi.

La prima delle due è oggi conosciuta come congettura "debole" di Goldbach, la seconda come congettura "forte" di Goldbach. L'enunciato della versione forte implica quello della congettura debole, poiché ogni numero dispari maggiore di 5 può essere ottenuto aggiungendo 3 (il numero 1 non è primo) ad ogni numero pari maggiore di 2. Si conviene che il termine congettura di Goldbach sia sinonimo di congettura forte di Goldbach. Entrambi i problemi sono rimasti irrisolti fino ad oggi.

[modifica] Risultati

La congettura di Goldbach è stata attaccata da molti teorici dei numeri. La maggior parte dei matematici ritiene che la congettura sia vera, basandosi principalmente su considerazioni statistiche e probabilistiche ottenute con il teorema dei numeri primi: più grande è il numero pari, più diventa probabile che possa essere scritto come somma di due primi.

Intorno al 1930 furono compiuti alcuni progressi. Dapprima, nel 1937, Ivan Vinogradov dimostrò che ogni numero dispari è somma di tre primi, e che quasi tutti i numeri pari possono essere scritti come somma di due primi (nel senso che la frazione dei numeri che possono essere scritti in tal modo tende ad 1). In particolare, l'insieme dei numeri che non soddisfano le ipotesi di Vinogradov ha densità 0.

Nel 1938, T. Estermann mostrò che quasi tutti i numeri pari possono essere scritti come somma di due primi, e N. Pipping verificò laboriosamente la congettura per tutti gli n ≤ 10 000. Successivamente L.G. Schnirelmann provò nel 1939 che ogni numero pari n ≥ 4 può essere scritto come somma di al più 300 000 numeri primi. Questo numero è stato successivamente abbassato da numerosi ricercatori. Il risultato più forte attualmente disponibile, dimostrato da Olivier Ramaré nel 1995, è che ogni numero pari n ≥ 4 si può scrivere come somma di al più 6 numeri primi.

I matematici successivi hanno sviluppato altri approcci. Un metodo tenta di dimostrare che "ogni numero pari maggiore di 4 può essere scritto come somma di c primi". Un'ulteriore generalizzazione sulle stesse linee sarebbe quella di dimostrare che "ogni multiplo di c maggiore di c stesso può essere scritto come somma di c primi". In entrambe le formulazioni, la congettura di Goldbach è il caso speciale dove c = 2. Un altro metodo tenta di dimostrare che "ogni numero pari può essere scritto come somma di un numero i cui fattori primi sono in numero non superiore ad a e un numero i cui fattori primi sono in numero non superiore a b". Questa è chiamata "proposizione (a+b)". In questo approccio, la congettura di Goldbach è il caso speciale dove a = 1 e b = 1; cioè, quando entrambi i numeri sono primi. Quella di Goldbach sarebbe insomma la "proposizione (1+1)".

Esiste uno studio che fa uso dei ricoprimenti, ovvero sottoinsiemi naturali per cui ogni intero può essere espresso come somma finita di suoi elementi. Questa teoria fa uso di notazioni come diretto e convesso. Convesso se tra un elemento del ricoprimento ed il suo doppio esiste l'elemento successivo; diretto se ogni intero è rappresentato da una somma in cui gli elementi del ricoprimento compaiono una volta sola, e di polimorfismo, ovvero un'applicazione per ogni elemento di n tale che ha valore zero per zero, é sempre minore uguale del numero che lo genera, e verifica la diseguaglianza triangolare. Si dimostra che se un ricoprimento è diretto o convesso, parimenti lo è la sua immagine polimorfa. Il problema aperto è dimostrare che l'insieme Π dei numeri primi sia un ricoprimento diretto, Come conseguemza è possibile costruire un polimorfismo tra il ricoprimento costituito da tutte le potenze del numero 2 e Π stesso facendolo aderire alla nozione di convessità postulata dal Bèrtrand, e conseguentemente alla congettura di Goldbach

Chen Jingrun mostrò nel 1966 che ogni numero pari abbastanza grande può essere scritto come somma o di due primi, o di un primo ed un semiprimo (il prodotto di due primi^[1] —per esempio, 100 = 23 + 7·11.

H.A. Pogorzelski diffuse una dimostrazione della congettura nel 1977, che però non è generalmente accettata nella comunità matematica.

T. Oliveira e Silva gestiscono un progetto di calcolo distribuito che ha finora verificato la congettura fino a 11 · 10¹⁷ (aggiornato a marzo 2008).^[2]

[modifica] Curiosità

• Il Matematico Automatico di Doug Lenat riscoprì la congettura di Goldbach nel 1982. Questa è considerata una delle prime constatazioni del fatto che gli strumenti della intelligenze artificiali sono capaci di compiere scoperte scientifiche.

• Nel 2000, allo scopo di pubblicizzare il libro Lo zio Petros e la congettura di Goldbach di Apostolos Doxiadis, l'editore britannico Tony Faber offrì un premio di 1 000 000 di dollari per una dimostrazione della congettura. Il premio sarebbe stato assegnato solo per dimostrazioni inviate per la pubblicazione entro aprile 2002, ma mai reclamato.

[modifica] Note

1. ^ J. R. Chen, On the representation of a larger even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes. Sci. Sinica 16 (1973), 157--176.
2. ^ Goldbach conjecture verification

[modifica] Bibliografia

• Zio Petros e la Congettura di Goldbach (1992), di Apostolos Doxiadis, Bompiani (ISBN 8845248615)
• Le ostinazioni di un matematico, ovvero come morire tre volte per la congettura di Goldbach (2005), di Didier Nordon, Sironi Editore (ISBN 8851800472)

[modifica] Voci correlate

• Christian Goldbach

[modifica] Collegamenti esterni

• (EN) Goldbach's conjecture, parte delle Prime Pages di Chris Caldwell.
• (EN) A million-dollar maths question. Articolo di Anjana Ahuja in The Times, 16 marzo, 2000.
• (EN) Help verify the Goldbach conjecture, La ricerca distribuita gestita da T. Oliveira e Silva.
• (EN) Online tool per verificare la congettura di Goldbach su interi che vengono richiesti.